抽象函数的定义域和单调性

1、 抽象函数的定义域和单调性【自我诊断】1设函数f(x)的定义域是R，对任意实数m，n满足f(mn)f(m)f(n)，当x0时，有f(x)0，则f(0)_【答案】1【解析】令m1，n0，代入式子可得f(1)f(1)f(0)，当x0时，有f(x)0，所以f(1)0，所以f(0)12已知函数f(x)，则函数yf(x)的定义域是_，yf(2x1)的定义域是_【答案】0，)，)【解析】对于函数yf(x)，即y，由x0得定义域为0，)；对于函数yf(2x1)，即y，由2x10，解得x，所以定义域为，)3若函数f(x1)的定义域是2，2)，求函数g(x)f(2x1)f(x1)的定义域【答案】0，1)【解析】

2、对于函数f(x1)，x2，2)，所以x11，3)所以对于函数g(x)，满足，化简得，所以0x1，则定义域为0，1)4设f(x)是R上的增函数，令F(x)f(x)f(1x)，求证：F(x)在R上是增函数【证明】任取x1，x2R，且x1x2，则1x11x2，x2x10因为f(x)是R上的增函数，所以f(x1)f(x2)，f(1x1)f(1x2)，所以f(x1)f(x2)0，f(1x2)f(1x1)0，所以F(x1)F(x2)f(x1)f(1x1)f(x2)f(1x2)f(x1)f(x2)f(1x2)f(1x1)0，即F(x1)F(x2)，所以F(x)在R上是增函数5已知函数f(x)对任意x，yR，

3、都有f(xy)f(x)f(y)，满足f(1)，且当x0时，f(x)0（1）判断f(x)的单调性并证明；（2）求f(x)在3，3上的最值【解析】（1）f(x)在R上单调递减，证明如下：因为f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，所以，令xy0，得f(0)0令yx，得f(0)f(x)f(x)即f(x)f(x)任取x1，x2R，且x1x2，则x2x10因为x0时，f(x)0，所以f(x2x1)0由f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2x1)0，即f(x2)f(x1)，所以f(x)在R上单调递减（2）因为f(x)在R上单调递减，所以f(x)在3，3上单调递减，所以f(3)是最

4、大值，f(3)是最小值f(3)f(21)f(2)f(1)f(11)f(1)3f(1)1f(3)f(3)1所以求f(x)在3，3上的最大值为1，最小值为1【反思】背景函数f(x)x6定义在区间1，1上的函数f(x)满足当a，b1，1时，有af(a)bf(b)af(b)bf(a)恒成立证明函数f(x)在其定义域上是增函数【证明】设1x1x21，令ax1，bx2，代入af(a)bf(b)af(b)bf(a)，得x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，所以(x1x2) f(x1)(x2x1) f(x2)0，即(x1x2)f(x1)f(x2)0，又因为x1x20，所以f(x1)f(x2

5、)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在其定义域上是增函数【跟踪训练】1设f(x)是(0，)上的减函数，令F(x)f(x)f()，求证：F(x)是(0，)上的减函数【证明】任取x1，x2R，且x1x2，则x2x10，则0，所以因为f(x)是R上的减函数，所以f(x1)f(x2)，f()f()，所以f(x1)f(x2)0，f()f()0，所以F(x1)F(x2)f(x1)f()f(x2)f()f(x1)f(x2)f()f()0，即F(x1)F(x2)，所以F(x)是(0，)上的减函数2已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(x)f(y)，满足f(1)1，f(27)9，且当0x1

6、时，0f(x)1（1）判断f(x)在0，)上的单调性并证明；（2）若a0且f(a1)，求a的取值范围【解析】（1）设x0，则f(x)f()f()f()f()0，若存在x00，使得f(x0)0，则f(27)f(x0)f(x0)f()0这与已知矛盾，所以当x0时，f(x)0设0x1x2，则01，所以0f()1，因此f(x1)f(x2)f()f(x2)又因为当x0时，f(x)0，所以f(x1)f(x2)，故f(x)在0，)上是增函数（2）f(27)f(39)f(3)f(9)f(3)f(3)f(3)f(3)所以9f(3)，得f(3)，故f(a1)f(3)因为a0，所以a11，且f(x)在0，)上是增函数，