焦点三角形若干性质探究

1、焦点三角形若干性质探究华东师范大学松江实验高级中学 金德江 定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。与这个三角形有关的问题是高考的热点，经久不衰，题型灵活多样。为方便叙述，先介绍几个一般性结论。1：该三角形一边长为焦距，另两边的和（差）为定值。2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。简证1：可由定义得 2：设P是椭圆 （，为半焦距）上的一点，O为原点，E、F是椭圆的两焦点， 则，由余弦函数图象性质知的最大值为，当且仅当P在短轴端点时取到该最大值。一、考察两边和（差）的定值例1（1）（2

2、006四川卷）如图把椭圆的长轴AB分成8分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于,七个点，F是椭圆的一个焦点，则_ 解：只需取椭圆的另一焦点与,七个点分别连接，由结论1和对称性可知（2）（2006江西卷）9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x5）2y24和（x5）2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为（ ）A. 6 B.7 C.8 D.9解圆（x5）2y24和（x5）2y21的圆心为双曲线的左右焦点，分别设为点，对于双曲线的右支上一点，是圆（x5）2y24上的动点，的最大值为，是圆（x5）2y21上的动点，的最小值为由结论1|PM|PN|的最大值为，故选二、考察结论2的张角最大问

3、题例2（2004湖南卷）解由结论2，的最大值为=2个注：该题若改变数值使 的最大值为钝角，则可得4点，亦可变条件为，则在上可得到更多满足条件的点。（亦可转化以中心为圆心，以c为半径的圆与椭圆的交点个数）三、考察焦点直角三角形例3（1）2007全国2卷11设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ B ）ABCD解由题意 由勾股定理 离心率为（2）（2001上海）设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|,求的值.解由题意，若为直角，则，即得，故若为直角，即得，故注：该题易忽略为直角，想当然的

4、认为只是为直角四、与向量结合探究焦三角形例4（1） 2007四川文21设、分别是椭圆的左、右焦点（）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的作标；（）略解析：（）易知，设则，又，联立，解得，（2）2007四川（20）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值; （）略解：（）易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值五、考察焦点三角形的面积例5 （1） 2007辽宁（理）设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（ B ）ABCD解由题意 又，为，可得其面积为12。(2)2003北京春考：P是椭圆

5、上一点，是两个焦点，是椭圆中心，若是面积为的正三角形，求的值解是面积为的正三角形，其边长为2，即半焦距=2 在中，可得= 即 六、综合考察焦点三角形例6 2007天津22设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）略解（）由题设及，不妨设点，其中由于点在椭圆上，有，即解得，从而得到 在三角形中由面积相等得： 该题也可求解直线的方程，利用点到该线的距离求解，运算较繁，有关焦点三角形的问题，要增强解三角形的意识。练习1（2000全国卷）椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值范围是 。2已知双曲线的两个焦点为，求该双曲线的方程。3（2002）上海春考

6、已知F1、F2为双曲线(a0,b0)的焦点，求该双曲线的渐进线方程。4（2007）浙江已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（B）5（2005）全国卷（理6）已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上且轴。则到直线的距离为（ ）A B C D 6（2005）全国卷（10）已知椭圆的两个焦点为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 7（2005）全国卷（9）已知双曲线的焦点为、，点M在双曲线上且，则点M到轴的距离为（ ）A B C D 8（2005辽宁）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q