2011高考数学一轮复习 抛物线课件

1、第八节 抛物线,一、抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(定点F不在定直线l上) 的距离 的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的 焦点，直线l叫做抛物线的 ,相等的点,准线,抛物线的定义中对定点与定直线有何要求？,提示：在抛物线的定义中，定点F不能在定直线l上，若定点F在定直线上，则可得动点的轨迹为过点F且垂直于l的直线.,二、抛物线的标准方程与几何性质,x 0，yR,x 0，yR,x轴,2py(p0),2py(p0),y 0，xR,y 0，xR,2py(p0),2py(p0),y轴,1抛物线x24y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦 点的距离为 () A2B3 C4 D5,解析：法一

2、：y4，x24y16. x4.A(4,4)焦点坐标为(0,1)， 由两点间距离公式知距离为 法二：抛物线准线为y1，A到准线的距离为5.又A到准线的距离与A到焦点的距离相等，距离为5.,答案：D,2抛物线yax2的准线方程是y20，则a的值是(),解析：将抛物线的方程化为标准形式x2 ，其准线 方程是,y= =2,a=,答案：B,3从抛物线y24x上一点P引其准线的垂线，垂足为M， 设抛物线的焦点为F，且|PF|5，则MPF的面积为 () C20 D10,解析：由题意，设P( ，y0)， 则|PF|PM| 15，y04， SMPF |PM|y0|10.,答案：D,4抛物线y22x上的两点A、B

3、到焦点的距离之和是5，则 线段AB中点到y轴的距离是_,解析：由抛物线定义可知，A、B到准线x 的距离之和也是5，从而线段AB中点到准线距离是 ，故AB中点到y轴的距离是,答案：2,5设抛物线y2mx的准线与直线x1的距离为3，则抛 物线的方程为_,解析：当m0时，准线方程为x 2，m8； 此时抛物线方程为y28x； 当m0时，准线方程为x 4，m16. 此时抛物线方程为y216x. 所求抛物线方程为y28x或y216x.,答案：y28x或y216x,抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握： (1)抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点F和一条直 线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线”

4、 (2)抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M； 一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)； 一个定值1(点M与定点F的距离和它到定直线l的距离之 比等于1) (3)抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到 准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解 题中有重要作用,已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标,利用定义将求|PA|+|PF|的最小值转化为|PA| +d的问题.,【解】将x3代入抛物线方程y22x，得y . 2，A在抛物线内部 设抛物线上的点P到准线l：x=-

5、 的距 离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d. 当PAl时，|PA|+d最小，最小值为 ，即|PA|+|PF|的最小值为 ，此时P点纵坐标为2，代入y2=2x，得x=2，所以点P坐标为(2,2),1将本例中A(3,2)改为A(3， )求|PA|PF|的最小值 及此时P点的坐标,解：可判断A(3， )在抛物线y22x的外部，由定义可 知|PA|PF|AF| ，此时P(2,2).,1抛物线的标准方程 (1)p的几何意义：p是焦点到准线的距离，故p恒为正数 (2)抛物线标准方程的形式特点 形式为y22px或x22py； 一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次 项系数的符号决定抛物

6、线的开口方向，即“对称轴看一次 项，符号决定开口方向”； 焦点的非零坐标是一次项系数的,【注意】焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一写成y2ax(a0)；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可统一写成x2ay(a0),2几何性质 与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据) (1)y1y2p2，x1x2 (2)|AB|x1x2p (为AB的倾斜角) (3)SAOB (为AB倾斜角) (4) (5)以AB为直径的圆与准线相切 (6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切 (7)CFD90.,为定值,(2009山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的

7、面积为4，则抛物线方程为 () Ay24x By28x Cy24x Dy28x,利用条件待定系数a可求.,【解析】由抛物线方程知焦点F( ，0)， 直线l为y=2(x- )，与y轴交点A(0，- ) SOAF= |OA|OF| a2=64，a=8.故y2=8x.,【答案】B,2(2009长沙模拟)已知抛物线y2px2(p0)的焦点为F， 点P(1， )在抛物线上，过P作PQ垂直抛物线的准线，垂 足为Q，若抛物线的准线与对称轴相交于点M，则四边形 PQMF的面积为_,解析：由P(1， )在抛物线上，得p ，故抛物线的标准方程为x24y，点F(0,1)，准线为y1，|FM|2，|PQ| |MQ|1

8、，则直角梯形PQMF的面积为,答案：,设抛物线方程为y22px(p0)，直线AxByC0，将直线方程与双曲线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0， (1)若m0，当0时，直线抛物线有两个公共点； 当0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当0时，直线与抛物线没有公共点 (2)若m0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛 物线的对称轴平行,已知A(8,0)，B、C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足 (1)求动点P的轨迹方程； (2)若过点A的直线l与动点P的轨迹交于M、N两点， 97，其中Q(1,0)，求直线l的方程,（1）设出B、C、P三点的坐标，利用条件 =0 建立方程 组，即

9、可求P点的轨迹方程. （2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况.,【解】(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，则 by代入得y24x. 动点P的轨迹方程为y24x.,(2)当直线l的斜率不存在时，x8与抛物线没有交点，不合 题意 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则 l：yk(x8) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 由 得(x11)(x21)y1y297， 即x1x2x1x21k2(x18)(x28)97， (1k2)x1x2(18k2)(x1x2)164k297， ,将yk(x8)代入y24x得 k2x2(416k2)x64k20， x1x2 ，x1x264.

10、 代入式得 64(1k2)(18k2) 164k297. 整理得 l的方程为y (x8)， 即x2y80或x2y80.,3已知动圆过定点P(1,0)，且与定直线l：x1相切，点 C在l上 (1)求动圆圆心的轨迹M的方程； (2)设过点P，且斜率为 的直线与曲线M相交于A、B 两点 问ABC能否为正三角形？若能，求出C点的坐标；若不 能，说明理由,解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为 y24x.如图所示 (2)由题意得，直线AB的方程为y=- (x-1)， 由 消y得 3x2-10 x+3=0. 解得,若ABC能为正三角形， 设C(-1，y)，则|AC|=|AB|=|BC|，即 组成的方程组无解，因此直线l上不存在点C使ABC是正三角形,对于抛物线的考查，主要涉及抛物线的定义、几何性质、标准方程及直线与抛物线的位置关系，多以选择、填空为主.2009年宁夏海南高考在填空题中考查了抛物线方程的求法.难度不大.属容易题.,(2009宁夏、海南高考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A、B两点若D(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_,解析法一：设抛物线方程为y2ax， 则由 设A(x1，y1)，B(x2，y2) 由x1x2a，又 a4，即y24x.,法二：设抛物线方