2.1.4函数的奇偶性37619

1、,要解决的问题：,具有奇偶性的函数有什么特点？奇、偶函数的图像有什么特征？ 判定函数的奇偶性有哪些步骤？ 每一个函数都具有奇偶性吗？ 是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？,2.1.4函数的奇偶性,观察下图，思考并讨论以下问题：,(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2) 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？,f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1),f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1),实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数y=x2为偶函数.,1偶函数,一

2、般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数,例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.,2.函数y=x2(-1x2)是偶函数吗?从图像的角度也来解释一下. 3.函数f(x)=x3-x+1.因为f(-1)=f(1) 所以f(x) 为偶函数. 对吗? 从这两个例子你得到什么启示?,辩一辩 1.偶函数的图像有什么特征?能从代数的角度说明一下吗?,观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象(下图)，你能发现两个函数图象有什么共同特征吗？,f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),

3、实际上，对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函数y=x为奇函数.,f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1),2奇函数,一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函数,注意：,1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；,2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）,3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f(-x

4、)=-f(x)有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.,4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.,判断下列函数是否具有奇偶性：,具有奇偶性的函数， 其定义域在数轴上有怎样的特点？,函数定义域关于数“0”对称.,对于定义在R上的函数 f (x)， 下列判断是否正确？,若f (2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数 若f (2) = f (2)，则函数 f (x)是奇函数,若f (2) f (2)，则函数 f (x)不是偶函数 若f (2) f (2)，则函数 f (x)不是奇函数。,用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1)、先求定义

5、域，看是否关于原点对称；,(2)、再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.,例1、判断下列函数的奇偶性：,(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x),即f(-x)=-f(x),f(x)奇函数,(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)偶函数,课堂练习,判断下列函数的奇偶性：,函数,奇函

6、数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶的函数,3.奇偶函数图象的性质,1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.,2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.,说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. B、判断函数的奇偶性,奇函数的图象(如y=x3 ),偶函数的图象(如y=x2),o,a,P/(-a ,f(-a),p(a ,f(a),-a,(-a,-f(a),(-a,f(a),例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.,解：画法略,思考:(1)若奇函数在(0，+)上是增函数? 那么该函数在(-,0)上是增函数还是减函数? (2)若是偶函数又有怎样的情形呢?,奇函数单调性同,偶函数单调性反,本课小结,1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意