7.1直线的倾斜角和斜率

1、平面解析幾何,解析幾何是數學的一門分科，它產生於17世紀初期。當時由於生產的發展，各種自然科學和生產技術都有了很大的進步，這就迫切需要解決隨著發生的許多數學上的問題。如：在天文學上，發現行星的軌道是橢圓；在力學上，確定了拋擲體是拋物線等。於是有關圓錐曲線的計算就成為急切需要了。解析幾何就是由於實際需要而產生的。,在平面幾何和立體幾何裡，所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關係來趼究圖形的性質，而解析幾何裡，是在坐標系的基礎上，用坐標表示點，用方程表示曲線(包括直線)，通過研究方程的特征，間接地研究曲線的性質。因此，可以說，解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科。,

2、解析幾何這種研究方法，在進一步學習數學、物理和其他科學技術中是經常用到的。,解析幾何的產生對數學的發展，特別是對微積分的出現起了促進的作用。,法國數學家笛卡爾(1596-1650)是解析幾何的創始人。,解析幾何分為平面解析幾何和空間解析幾何，本課程是限於前者。,解析幾何研究的主要問題是： (1) 根據已知條件，求出表示平面曲線的方程； (2) 通過方程，研究平面曲線的性質。,直線的傾斜角和斜率,1、理解直線的傾斜角和斜率的概念；,2、了解直線傾斜角的唯一性和斜率的存在性；,3、熟記過兩點的直線的斜率公式的形式特點及適用範圍。,學習目標,我們知道，一次函數 y = kx+b 的圖像是一條直線,這

3、條直線上點的坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。,為了建立直角坐標系中的直線方程，需要研究直線的傾斜角和斜率。,什麼是直線的傾斜角?,一、直線的傾斜角,1、定義,規定:當直線 與 軸平行或重合時，其傾斜角為,對於一條和x軸相交於P點的直線l，如果把x軸繞交點P按逆時針方向旋轉到與直線重合，所旋轉的最小正角 ，那麼角叫做直線l的傾斜角。,練習,1、下列圖中標出的直線的傾斜角對不對？如果不對，違背了定義中的哪一條？,2、直線 x = -1的傾斜角等於 () A、0B、90 C、135 D、不存在,2、直線傾斜角的範圍,思考？ 直線的傾斜角範圍是多少

4、？,一、直線的傾斜角,零度角,銳角,直角,鈍角,按傾斜角去分類，直線可分幾類？,一、直線的傾斜角,思考？ 直線的傾斜角範圍是多少？,答：直線的傾斜角的取值範圍為：,一、直線的傾斜角,2、直線傾斜角的範圍,日常生活中，我們經常用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度”（傾斜程度），即,二、直線的斜率,1、定義,我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。,用小寫字母k表示，即：,(1) 傾斜角和斜率都是反映直線相對於x軸正方向的傾斜 程度。,(2) 在坐標平面內任意一條直線都有傾斜角，若傾斜角 是 ，它就沒有斜率；若傾斜角不是 ，它就有 斜率，並且是確定的。,注：,二、直線的斜率,觀察當

5、傾斜角分別為零角、銳角、直角、鈍角的直線的斜率的取值範圍,2、直線斜率的取值範圍,由上可知直線斜率的取值範圍為：,二、直線的斜率,1、斜率k可以取一切實數。,2、直線的傾斜角一定存在，但斜率不一定存在。,即任何一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率。,亦即是傾斜角和斜率不是一一對應的。,注意,1、已知直線的傾斜角,求直線的斜率：,練習,2、已知直線l1的斜率為3，直線l2 的傾斜角是l1的傾斜角的 2倍，求直線l2的斜率。,三、過兩點的直線的斜率公式,已知直線上兩點的坐標，如何計算直線的斜率？,給定兩點 ，並且 ，如何計算直線 的斜率k,想一想？,如圖，當為銳角時,傾斜角是銳角時,三、過

6、兩點的直線的斜率公式,0,如圖，當為鈍角時,傾斜角是鈍角時,三、過兩點的直線的斜率公式,0,思考？,1、當直線平行於x軸，或與x軸重合時，上述公 式還適用嗎？為什麼？,答：成立，因為分子為0，分母不為0，k =0,三、過兩點的直線的斜率公式,思考？,2、當直線平行於y軸，或與y軸重合時，上述公 式還適用嗎？為什麼？,答：不成立，因為分母為0,三、過兩點的直線的斜率公式,綜上所述，我們得到經過兩點 的直線的斜率公式：,三、過兩點的直線的斜率公式,例1 如圖，直線 的傾斜角 ，直線 ，求直線 的斜率。,例2 求經過A(-2,0)、B(-5,3)兩點的直線的斜率和傾斜角。,例3 在y軸上，求一點M，使它與點 的連線的傾 斜角為 。,例4 已知點A(2,3),B(1,-3),C(3,9)，證明這三個點在同一條 直線上。,例5 已知一光線從點A(-1,3)，照在x軸上又反射回去，反射 光線過點B(2,7)，求x軸上光照點的坐標。,小 結,1、直線的傾斜角定義及其範圍：,2、直線的斜率定義：,3、斜率k與傾斜角 之間的關係：,4、斜率公式：,練習,1、已知a，b，c是兩兩不相等的實數，求經過兩點的直 線傾斜角：,2、m為何值時，經過兩點A(-m，6)、B(1，3m)的直線斜 率是12？,3、m為何值時，經過兩點A(m，2)、B(-m，-2m-1)的直 線斜率的傾斜角是60？,