自动控制理论之频率域稳定判据及稳定裕度探讨

1、5-4 频率域稳定判据,控制系统的闭环稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题，奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性，使用方便，易于推广。,Nyquist稳定判据既可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的瞬态性能以及指出改善系统性能指标的途径。,复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。,1、奈氏判据的数学基础,设S为复数变量，F(S)为S的有理分式函数。对于S平面上任意一点S，通过复变函

2、数F(S)的映射关系，在F(S)平面上可以确定关于S的象。在S平面上任选一条闭合曲线 且不通过F(S)的任何零点与极点，S从闭合曲线上任一一点A起，顺时针沿运动一周，再回到A点，那么相应 F(S)平面上也从点F(A)起，到F(A)点止形成一条闭合曲线 F。若F(S)在S平面上指定区域内是非奇异的，则有如图5-39所示的映射关系。,（1）、幅角原理,图5-39 s平面与F(S)平面的映射关系,对于S平面内的任意一点d，都可以通过F(S)的映射关系在F平面上找到一个相应的点d（ d是d的像 ）；对于S平面上任意一条不通过F(S)任何零点极点的闭合曲线，也可以通过映射关系在F(S)平面上找到一条与它

3、相对应的曲线F。,设复变量S沿着闭合曲线运动一周，研究F(S)相角的变化情况。,S平面上的闭合曲线如图5-40所示。复变函数F (s)右零点极点如图所示。当闭合曲线上任一点S1沿顺时针方向转动一圈时，其矢量总的相角增量,图5-40 映射关系,式中，P和Z分别是被闭合曲线包围的特征方程函数F (s)的极点数和零点数。它表明，当s平面上的试验点s1沿闭合曲线顺时针方向绕行一圈时，F(s)平面上对应的闭合曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。,幅角原理：设S平面上不通过F(S)任何零极点的某条封闭曲线，它包围了F(S)在S平面的Z个零点和P个极点。当S以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，则在F平

4、面上对应于封闭曲线的像F 将以顺时针的方向围绕原点旋转R圈。R与Z、P的关系为：,R0和R0分别表示F顺时针包围和逆时针包围F(s)平面的原点，R0表示不包围F(S)平面的原点。,（2）、复变函数F(S)的选择,如图5-41所示结构图，其开环传递函数为,图5-41 控制系统结构图,则,B(S)+A(S)和A(S)分别为闭环和开环的特征多项式。引入辅助函数,辅助函数也可以表示成零极点的形式,因此，我们可以看出，辅助函数具有如下特征：,1）辅助函数F(S)是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，故其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。,2）因为开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶

5、次，故F(S)零点、极点的个数相同，均为n个。,图5-42 F平面与GH平面的关系图,3）F(S)与开环传递函数G(S)H(S)之间只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的几何意义为：F平面上的坐标原点就是GH平面上的（1，j0）点，如图5-42所示。,Nyquist轨迹及其映射,为将映射定理与控制系统稳定性的分析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线。如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。 Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一条封闭曲线，称为Nyquist曲线。,图5-43 s平面上的 Nyquist轨

6、迹,Nyquist轨迹由两部分组成，一部分沿虚轴由下而上移动，试验点s=j在整个虚轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线F(j) (由+)，如图5-44所示。 F(j)=1+G(j)H(j) Nyquist轨迹的另一部分为s平面上半径为的右半圆，映射到F 平面上为 F ()=1+G ()H (),图5-44 F 平面上的Nyquist曲线,式中，Z位于F (s)平面右半部分的零点数，即闭环右极点个数； P位于F(s)平面右半部分的极点数，即开环右极点个数； RNyquist曲线包围坐标原点的次数。 闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。,根据映射定理可

7、得，s平面上的Nyquist轨迹在F平面上的映射F(j)(从) 包围坐标原点的次数R为 R=PZ,例：分析下图映射关系,（3）、S平面闭合曲线的选择,系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面闭合曲线 包围S平面的右半部分时，Z0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一零极点的条件， 可取两种形式。见P194,（4）、G(S)H(S)曲线的绘制,已知S平面闭合曲线关于实轴对称，故闭合曲线GH也关于实轴对称，因此只需画出正虚轴部分的曲线，得GH的半闭合曲线，仍计为GH。,G(S)H(S)右虚轴上极点和 无虚轴上极点时的特性曲线绘制方法见P195。,（5）、闭合曲

8、线包围原点圈数R的计算,根据半闭合曲线GH可得F包围原点的圈数R。设N为GH穿越（1，j0）点左侧负实轴的次数，N表示正穿越的次数（从上往下穿越），N表示负穿越的次数（从下往上穿越），则,见书P196,2、Nyquist稳定判据,为了确定辅助函数F(S)位于右半s平面内的所有零点、极点数，现将封闭曲线扩展为整个右平面。曲线由三段所组成：,（1）正虚轴s=j ：频率由0变到；,（2）半径为无限大的右半圆 S=Rej:R，：,（3）负虚轴s=j ：频率由变到0。,这种包含了整个右半s平面的闭合曲线称为Nyquist轨迹，如图5-43所示。,设0型系统的传递函数为,在F平面上绘制与相对应的像F如下：

9、当s沿虚轴变化时,式中，G(j)H(j)为系统的开环频率特性,因而F由下面几段组成：,（1）和正虚轴对应的是频率特性G(j)H(j)右移一个单位；,（2）和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数F (s) 1；,（3）和负虚轴相对应的是频率特性对称于实轴的镜像。,图5-44 开环频率特性曲线与它在F平面上的对应曲线,对于包含了整个右半s平面的Nyquist路径来说，Z和P分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半s平面上的极点数，而R则存在两种提法：（1）F平面上F曲线围绕原点的圈数；（2）GH平面上极坐标频率特性曲线及其镜像围绕（1，j0）点的圈数。,利用幅角定理判断闭环系统的稳定性，则闭环系统稳

10、定的充要条件为F(S)函数在s平面右半部的零点数Z=0即,奈氏判据：若系统的开环不稳定，即开环传递函数G(S)H(S)在右半平面上有极点，其个数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件是：在GH平面上的开环频率特性 曲线G(j)H(j)及其镜像当从变化到时，将以逆时针的方向围绕（1，j0）点P圈；若系统开环稳定，即P=0，则闭环系统稳定的充要条件是：在GH平面上的开环频率特性曲线及其镜像不包围（1，j0）点。,利用奈氏判据判断闭环系统不稳定，还可求出该系统在右半s平面上的极点的个数,例5-7 系统开环传递函数为,其幅频特性图如图5-44左所示。试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。,解 当三

11、个参数取任何正值时，系统的两个开环极点都是负实数，即S平面右半部分无开环极点，P=0。频率特性及其镜像组成的封闭曲线如图544右所示。可见，当从 时，闭合曲线并未包围（1，j0）点，故N0。因此闭环系统总是稳定的。我们也可以利用劳斯判据进行判定。,例5-8 设系统开环传递函数为,试利用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性。,解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。,已知,由图知 ，则,所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为2。,利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值改变时，在任一频率下将引起幅频特

12、性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-45，当频率3时，曲线与负实轴正好相交在（2，j0）点，若传递系数K缩小一半，即由5.2降为2.6时，曲线恰好通过（1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步缩小，当K2.6时，频率特性将从（1，j0）点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线将不再包围（1，j0）点，这时闭环系统则是稳定的了。,图5-45 例5-8系统的极坐标图及其镜像,例5-9 系统结构图如图5-46所示，试判断系统的稳定性并讨论K值对闭环系统稳定性的影响。,图5-46,解：图示系统是一个开环不稳定系统，其开环传递函数在S平面右半部分有一个极点P1，频率特性曲线如图547所示。当 0

13、时，曲线从负实轴（K，j0）出发；当时，曲线以90渐近角趋于坐标原点；当从变化到，频率特性（图中实线部分）及其镜像（虚线部分）包围（1，j0）点的圈数R与K值有关。,图547绘出了K1 和 K1 时，曲线逆时针包围了（1，j0）点1圈即R=1 闭环系统稳定；当K1时，曲线未包围（1，j0）点，即R=0，闭环系统不稳定。 在本例中，K值大才能使系统稳定，K值小反而使闭环系统不稳定，这是与常见的最小相位系统截然不同之处。,图5-47 K1 和 K1的频率特性曲线,3、Nyquist判据在型和型系统中的应用,设系统开环传递函数为,为利用Nyquist判据分析型和型系统的稳定性，就需要修改s平面上原点

14、附近的Nyquist路径，使它不通过s=0的开环极点又仍然能包围整个右半s平面。方法是增补一个以原点为圆心、半径R为无穷小的右半圆。如图5-48所示,图5-48 修改后的Nyquist路径,图5-49 极坐标图及其镜像,例5-10 设某型系统的开环频率特性如图5-49所示。开环传递函数在右半s平面上没有极点，试用Nyquist判据判断系统的稳定性。,解 已知P=0，由图可知R=0，则Z0，闭环系统稳定。,例5-11 某型系统在s右半平面无开环极点，已知其开环频率特性如图5-50所示。试判别系统的稳定性。,解 已知P=0，由图知R=-2，则PR，闭环系统不稳定。其位于s右半平面的零点数为,图5-

15、50 例5-11系统的极坐标图及其镜像,4、在Bode图上判断闭环系统的稳定性,在极坐标图上应用奈氏判据时，（1,j0）点是个关键点，开环频率特性G(j)H(j) 曲线是否围绕它，怎样围绕它，围绕几圈，掌握这些信息后，就可以判断闭环系统是否稳定。,（1，j0）点表示成幅角形式是 而A()1对应于对数幅频坐标图上L()0的水平线； 则对应于对数相频坐标图上180的水平线。其实，极坐标图上的整个负实轴均对应于Bode图上的180水平线。,在极坐标图上， G(j)H(j) 曲线每包围（1,j0）点一次，必然是G(j)H(j) 在A() 1的条件下穿越负实轴(1)区段一次。若G(j)H(j) 曲线逆时

16、针包围（1,j0）点一圈，意味着G(j)H(j)曲线在(1)区段有一次正穿越；相反，若G(j)H(j) 曲线顺时针包围（1,j0）点一圈，意味着有一次负穿越。这种正负穿越在对数坐标图上的对应关系是：在对数坐标图的 L() 0dB的范围内，当增加时，相频特性曲线从下向上穿过180相位线为正穿越，反之为负穿越。 图551绘出了对数坐标图上频率特性曲线的正穿越和负穿越。,图5-51 在Bode图上的正负穿越,根据对数坐标图上频率特性的穿越情况，可将Nyquist判据陈述如下：设系统开环传递函数G(s)H(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在开环对数幅频特性 的所有区段内

17、，当频率增加时对数相频特性 相位线的正负穿越次数之差为 。对于闭环不稳定的系统，其右半s平面上的极点数为,例 5-12 某单位反馈系统的开环传递函数为,试用Bode图判断其闭环系统是否稳定。,解 开环系统的频率特性为,其对数频率特性曲线如图5-52所示。,图5-52 Bode图,已知P0，又由图可以得知，在 的频带范围内,故闭环系统不稳定。,5-5 稳定裕度,控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。而对一个稳定的系统而言，还存在一个稳定程度的问题，即相对稳定性。相对稳定性与系统的瞬态响应指标有着密切的关系。在设计一个控制系统时，不仅要求它是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度，即具备适当

18、的相对稳定性。只有这样，才能避免因建立数学模型和系统分析计算中的某些简化处理，或参数变化导致系统不稳定。,对于一个开环传递函数中没有虚轴右侧零极点的最小相位系统，G(j)H(j)曲线越靠近（1，j0）点，系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可用G(j)H(j)曲线对（1，j0）点的靠近程度来表示系统的相对稳定程度。通常，这种靠近程度是以相角裕度和幅值裕度来表示的。,一、相角裕度,在GH平面上画一个以原点为圆心的单位圆，如图556。当 C时， G(j)H(j)曲线正好与该单位圆相交，即A ()=1。按相角裕度的定义有：,相角裕度又叫做相角余量，简称相余量，它是指幅相频率特性

19、G(j)H(j)的 幅值 的向量与负实轴的夹角，常用希腊字母 表示。,设C为系统的截止频率,定义相角裕度为,由于 ，因此在Bode图中，相角裕度表现为L()=0dB 处的相角 水平线之间的距离。,图553 相角裕度与幅值裕度,二、幅值裕度,设x为系统的穿越频率， x时G(j)H(j)曲线与负实轴相交，此时特性曲线的幅值为A(x)，如图556。幅值裕度是指（1，j0）点的幅值与A(x)之比，常用h表示。,在对数坐标下，幅值裕度按下式定义：,相角裕度表示开环Nyquist图在单位圆上离（1，j0）点的远近程度。,幅值裕度表示开环Nyquist图在负实轴上离（1，j0）点的远近程度。,相角裕度的物理

20、意义在于：闭环稳定系统在截止频率 c处若开环相频特性再滞后一个角度，则系统处于临界状态；若开环相频特性滞后大于 ，系统将变成不稳定。,幅值裕度的物理意义在于：闭环稳定系统的开环幅频特性增大h倍，则 x处的幅值A(x)将等于1，曲线正好通过（1，j0）点，系统处于临界稳定状态；若开环幅频特性增大h倍以上，系统将变成不稳定。,对于最小相位系统，欲使系统稳定，就要求相角裕度 0和幅值裕度h1。为保证系统具有一定的相对稳定性，稳定裕度就不能太小。在工程设计中一般取 3060， A(x) 0.5。,例5-12 设控制系统如下图所示，当K=10和K=100时，试求系统的相角裕度和幅值裕度。,解：相角裕度和幅值裕度可以从Bode图中求得。,当k=10时，开环系统Bode如左所示。这时系统的相角裕度和幅值裕度大约是21度和8dB。因此系统在不稳定之前，增益可以增加8dB.,相角裕度和幅值裕度的计算：,相角裕度：先求截止频率c,在截止频率处， ，所以 解此方