2013版高中数学全程复习方略 7.5 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理

1、第五节 直线、平面垂直的判定及其 性质,三年20考 高考指数: 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形垂直关系的简单命题.,1.垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中，主要考查对与垂直有关的概念、公理、定理、性质、结论的理解及运用，往往与命题及平行关系综合在一起考查，难度较小； 2.线面垂直、面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现，且常与平行关系综合命题，难度中等； 3.通过线面角、二面角的求解来考查学生的空间想象能力和运算能力，常以解答题的形式出现，难度中等.,1.直线与平面垂直 (1)

2、直线与平面垂直的定义 条件：直线l与平面内的_一条直线都垂直. 结论：直线l与平面垂直.,任意,(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理,文字语言,图形语言,符号语言,判 定 定 理,一条直线与一个 平面内的两条_ _直线都垂直， 则该直线与此平 面垂直.,_， _， _, _， _， ,性 质 定 理,垂直于同一个 平面的两条直 线_.,_， _， ,a,b,O,l,a,b,平行,la,lb,a,b,ab=O,a,b,l,ab,相,交,【即时应用】 (1)思考：能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”？ 提示：不可以.当这无数条直线平行时，直线l有可能在平面内，或者l

3、与平面相交但不垂直.,(2)直线a平面，b，则a与b的位置关系是_. 【解析】由b可得b平行于内的一条直线，设为b.因为a，所以ab，从而ab，但a与b可能相交，也可能异面. 答案：垂直,2.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的 射影所成的_，叫做这条直线和这个平 面所成的角.如图，_就是斜线AP与平 面所成的角. (2)线面角的范围：0， .,锐角,PAO,【即时应用】 (1)思考：如果两直线与一个平面所成的角相等，则这两直线一定平行吗？ 提示：不一定.这两直线的位置关系可能平行、相交或异面.,(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，B1C 与平面A1B1C1D

4、1所成的角为_，其大 小为_；D1B与平面ABCD所成的角的 正弦值为_. 【解析】B1C与平面A1B1C1D1所成的角为CB1C1，其大小为 45；连接BD，则D1B与平面ABCD所成的角为D1BD，其正弦 值为 . 答案：CB1C1 45,3.平面与平面垂直 (1)二面角 定义：从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角.这条直线叫 做二面角的棱.两个半平面叫做二面角 的_. 如图的二面角，可记作:二面角_或二面角_.,面,-l-,-AB-,二面角的平面角 如图，过二面角-l-的棱l上一点O在 两个半平面内分别作BOl，AOl,则 _就叫做二面角-l-的平面角. 平面角的范围 设二

5、面角的平面角为，则0,.,AOB,(2)平面与平面垂直 定义： 条件：两相交平面所成的二面角为_. 结论：这两平面垂直.,直二面角,平面与平面垂直的判定定理,文字语言,图形语言,符号语言,判 定 定 理,一个平面过 另一个平面 的_，则 这两个平面 垂直.,_, _, ,垂线,l,l,l,平面与平面垂直的性质定理,文字语言,图形语言,符号语言,性 质 定 理,两个平面垂 直，则一个 平面内垂直 于_的直 线与另一个 平面垂直.,_, _, _, _, ,交线,=a,l la,l,a,l,【即时应用】 (1)思考：垂直于同一平面的两平面是否平行？ 提示：不一定.两平面可能平行，也可能相交.,(2

6、)已知,表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的_条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”) 【解析】由条件知，当m时，一定有；但反之不一定成立.故填必要不充分. 答案：必要不充分,(3)将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，DAB=_. 【解析】如图,取AC的中点O，连接DO，BO， 则DOAC，BOAC，故DOB为二面角的平 面角，从而DOB=90.设正方形边长为1， 则DO=BO= ，所以DB=1，故ADB为等边三 角形，所以DAB=60. 答案：60,直线与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】 1.判定线面垂直的常用方法,2.线面垂直性质的应用 当直线和平面垂

7、直时，则直线与平面内的所有直线都垂直，给我们提供了证明空间两线垂直的一种重要方法. 【提醒】解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程.如用判定定理证明线面垂直时，一定要体现出“平面中的两条相交直线”这一条件.,【例1】(1)(2012佛山模拟)如图，PA正方形ABCD，下列结论中不正确的是( ) (A)PBBC (B)PDCD (C)PDBD (D)PABD,(2)(2012鹰潭模拟)如图，三棱锥 P-ABC中，PA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分线段PC，且分别交AC、PC于D、 E两点,又PB=BC，PA=AB. 求证：PC平面BDE； 若点Q是线段PA上任一点，判断BD、DQ的

8、位置关系，并证明你的结论； 若AB=2,求三棱锥B-CED的体积.,【解题指南】(1)根据线面垂直的判定和性质定理来判断. (2)利用线面垂直的判定定理证明；证明BD平面PAC即可；根据VB-CED=VC-BDE，转化为求SBDE及CE的长度. 【规范解答】(1)选C.由题意可推得BC平面PAB. 又PB 平面PAB，故BCPB.A正确. 同理可得CD平面PAD，PA平面AC，故选项B、D正确，选项C显然不正确.,(2)由等腰三角形PBC，得BEPC， DE垂直平分PC，DEPC， 又BEDE=E，PC平面BDE 由得，PCBD， PA底面ABC，PABD. 又PCPA=P，BD平面PAC 当

9、点Q是线段PA上任一点时都有BDDQ. PA=AB=2, ABBC,且 CDECPA， DE= 由知：BDDE. =,【互动探究】本例(2)若改为“设Q是线段PA上任意一点，求证：平面BDQ平面PAC”，如何证明？ 【证明】由(2)的解法可知BD平面PAC. 又BD 平面BDQ,平面BDQ平面PAC.,【反思感悟】1.在证明垂直关系时，要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化，同时要注意通过作辅助线进行这种转化. 2.解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析，从中找到线线垂直往往是解题的关键，因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理.,【变式备选】如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D

10、1中，ABBC1，AA12，E是 侧棱BB1的中点. (1)求证：A1E平面ADE； (2)求三棱锥A1ADE的体积.,【解析】(1)由勾股定理得： AEA1=90，A1EAE. AD平面AA1B1B，A1E 平面AA1B1B ， A1EAD， 又ADAEA，A1E平面ADE.,(2)由题意得,平面与平面垂直的判定和性质 【方法点睛】 1.判定面面垂直的方法 面面垂直的判定综合性强，可通过转化使问题得以解决，“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的关系如图，,线线垂直,线面垂直,面面垂直,判定,性质,判定,性质,判定,性质,其中线线垂直是基础，线面垂直是核心.解决这类问题时要善于挖掘题目中

11、隐含着的线线垂直、线面垂直的条件. 2.面面垂直性质的应用 (1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.,【例2】如图，在BCD中，BCD90， BCCD1，AB平面BCD，ADB60， E、F分别是AC、AD上的动点，且 =(01). (1)判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明； (2)是否存在，使得平面BEF平面ACD，如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由.,【解题指南】(1)结合图形猜测EF与平面ABC垂直.由 知EFCD，由BCD90及AB平面BCD可证得结论成

12、立. (2)由EFCD可知问题相当于过点B作一个平面与平面ACD垂直， 而这样的平面一定存在，故只需计算出即可.,【规范解答】(1)EF平面ABC. 证明：AB平面BCD，ABCD， 在BCD中，BCD90，BCCD， 又ABBCB，CD平面ABC， 在ACD中 EFCD，EF平面ABC. (2)CD平面ABC，BE 平面ABC，BECD， 故要使平面BEF平面ACD，只需证BEAC.,在RtABD中，ADB60， ABBDtan60 则 当BEAC时， 则 ，即 时，BEAC， 又BECD，ACCDC，,BE平面ACD， BE 平面BEF ， 平面BEF平面ACD. 所以存在 时，平面BEF

13、平面ACD.,【反思感悟】证明面面垂直时一般先证线面垂直，确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找，若图中不存在这样的直线，则应通过添加辅助线来构造.,【变式训练】如图，四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是DAB=60的菱形，侧面 PAD为正三角形，其所在平面垂直于底 面ABCD. (1)求证：ADPB; (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.,【解析】(1)如图，取AD的中点G，连接PG，BG，BD. PAD为等边三角形， PGAD, 又平面PAD平面ABCD， PG平面ABCD. 在ABD中，DAB=60, AD=AB, ABD为等

14、边三角形，,BGAD,且BGPG=G, AD平面PBG, ADPB.,(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点， 在PGC中作HFPG， 交PC于F点，连接DF， FH平面ABCD, 平面DEF平面ABCD. 菱形ABCD中，G、E分别为AD、BC的中点，即得知H是CG的中点，F是PC的中点， 在PC上存在一点F，即为PC的中点，使得平面DEF平面ABCD.,线面角、二面角的求法 【方法点睛】 1.求空间角的步骤 (1)一找，即找出相关的角； (2)二证，即证明找出的角即为所求的角； (3)三计算，即通过解三角形的方法求出所求角.,2.空间角的找法 (1)线面角 找出斜线在平面上的射影，关

15、键是作出垂线，确定垂足. (2)二面角 二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法；垂面法.其中定义法是最常用的方法.,【提醒】在作二面角的平面角时，若题目中有面面垂直的条件，则可由面面垂直得到线面垂直，进而根据定义作出二面角的平面角.,【例3】(2011广东高考)如图，在 锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱 形，且DAB=60，PA=PD= ,PB=2， E，F分别是BC，PC的中点. (1)证明：AD平面DEF； (2)求二面角P-AD-B的余弦值.,【解题指南】(1)取AD中点G，证明AD平面PGB，再证明平面PGB平面DEF. (2)连接PG、BG，证PGB是所

16、求二面角的平面角，在PGB中由余弦定理可求得二面角的余弦值.,【规范解答】(1)取AD的中点G，连接PG，BG，BD，又PA=PD，PGAD， 由题意知ABD是等边三角形， BGAD， 又PG,BG是平面PGB的两条相交 直线， AD平面PGB， EFPB，DEGB，EFDE=E,PBBG=B,平面DEF平面PGB， AD平面DEF. (2)由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角， 在RtPGA中， 在RtBGA中， 在PGB中，由余弦定理得 cosPGB= 即所求二面角的余弦值为,【反思感悟】1.通过三角形中位线的性质证明平行是立体几何中的常用方法.解题中要重视各种“平行”、“垂直”间

17、的转化. 2.空间角求解的关键是转化为平面角来处理，即转化为三角形的内角，利用解三角形的知识来解.,【变式训练】(2012台州模拟)如图，菱形ABCD与矩形BDEF所在 平面互相垂直， (1)求证：FC平面AED； (2)若BF=kBD，当二面角A-EF-C为直二面角时，求k的值.,【解析】(1)FBED,BCAD，FBBC=B, EDAD=D，平面FBC平面EDA. 又FC 平面FBC.FC平面AED. (2)取EF,BD的中点M,N, 连接AM，CM. 由于AE=AF，CE=CF， 所以AMEF，CMEF，,E,A,F,D,B,C,N,M,AMC即为二面角A-EF-C的平面角. 由题意知，

18、AM=CM， 当二面角A-EF-C为直二面角时，可得AMC为等腰直角三角形.故 又AB=AD,BAD= ABD为等边三角形. BF=MN= BD,故k= .,【变式备选】如图，四棱锥V-ABCD中， 底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角 形，平面VAD底面ABCD，设AB=2. (1)证明：AB平面VAD； (2)求二面角A-VD-B的正切值； (3)E是VA上的动点，当面DCE面VAB时，求三棱锥V-ECD的体积.,【解析】(1)平面VAD底面ABCD，底 面ABCD是正方形. ABAD. 又平面VAD底面ABCD=AD. 故AB平面VAD. (2)如图，取VD的中点F，连接AF，BF.

19、 VAD是正三角形，AFVD， 根据(1)AB平面VAD.,ABVD.VD平面ABF.BFVD. AFB为面VAD与平面VDB所成的二面角的平面角. tanAFB= (3)由(1)可知AB平面VAD, CD平面VAD. 平面VAD平面ECD. 又VAD是正三角形, 当E是VA中点时,EDVA.,VA面EDC，面VAB面EDC. 此时三棱锥V-EDC的体积等于三棱锥C-VED的体积,【满分指导】垂直关系综合问题的规范解答 【典例】(12分)(2011辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA, (1)证明：PQ平面DCQ； (2)求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的

20、体积的比值.,【解题指南】(1)证明PQDC，PQQD，进而可得PQ平面DCQ； (2)设出正方形的边长为a，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值.,【规范解答】 (1)由条件知PDAQ为直角梯形. 因为QA平面ABCD，QA 平面PDAQ， 所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DCAD， 所以DC平面PDAQ，2分 又PQ 平面PDAQ， 所以PQDC.,在直角梯形PDAQ中可得 则PQQD.5分 又DCQD=D, 所以PQ平面DCQ.6分 (2)设AB=a. 由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高， 所以棱锥Q-ABCD的体积 8分,由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高， 而PQ= ，DCQ的面