高等数学多元函数极值问题解析及习题考试及答案

高等数学多元函数极值问题解析及习题考试及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且f(x,y)在该点处可微，则必有（）A.∇f(x0,y0)=0B.f(x0,y0)是全局最小值C.f(x0,y0)是全局最大值D.f(x0,y0)不是驻点2.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+1在点(1,-2)处的极值类型是（）A.极大值B.极小值C.非极值D.无法确定3.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处满足f_x(x0,y0)=0且f_y(x0,y0)=0，则点(x0,y0)（）A.一定是极值点B.一定不是极值点C.可能是极值点也可能不是极值点D.一定是拐点4.函数f(x,y)=x^3-3xy^2+y^3在点(0,0)处的极值类型是（）A.极大值B.极小值C.非极值D.无法确定5.求函数f(x,y)=x^2+2y^2-xy在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最值，正确的方法是（）A.只需在D的内部求驻点B.只需在D的边界上求最值C.需要在D的内部和边界上分别求最值，然后比较D.无法求解6.函数f(x,y)=e^(x+y)在点(0,0)处的极值类型是（）A.极大值B.极小值C.非极值D.无法确定7.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处Hessian矩阵正定，则f(x0,y0)是（）A.极大值B.极小值C.非极值D.无法确定8.函数f(x,y)=sin(x)+cos(y)在区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}上的最大值点是（）A.(0,0)B.(π,π)C.(π/2,π/2)D.(π/4,π/4)9.函数f(x,y)=ln(x)+ln(y)在区域D={(x,y)|x>0,y>0}上的最小值点是（）A.(1,1)B.(2,2)C.(0,0)D.(1,2)10.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处f_xx(x0,y0)f_yy(x0,y0)-[f_xy(x0,y0)]^2<0，则f(x0,y0)是（）A.极大值B.极小值C.非极值D.无法确定二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.函数f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+9在点______处取得极值，极值为______。2.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处f_x(x0,y0)=1，f_y(x0,y0)=-2，则该极值点是______。3.函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy在点______处取得极值，极值为______。4.函数f(x,y)=e^(x+y)-2x-2y在区域D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的最小值点是______，最小值为______。5.函数f(x,y)=x^2+4y^2-4xy在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最大值点是______，最大值为______。6.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处Hessian矩阵为______，则f(x0,y0)是极大值。7.函数f(x,y)=sin(x)+cos(y)在区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}上的最小值点是______，最小值为______。8.函数f(x,y)=ln(x)+ln(y)在区域D={(x,y)|x>0,y>0}上的最大值点是______，最大值为______。9.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处f_xx(x0,y0)=2，f_yy(x0,y0)=-3，f_xy(x0,y0)=1，则f(x0,y0)是______。10.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+1在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值点是______，最大值为______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处f_x(x0,y0)=0且f_y(x0,y0)=0，则点(x0,y0)一定是极值点。（×）2.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(0,0)处取得极小值。（√）3.函数f(x,y)=x^3+y^3在点(0,0)处取得极值。（×）4.函数f(x,y)=e^(x+y)在点(0,0)处取得极值。（×）5.函数f(x,y)=sin(x)+cos(y)在区域D={(x,y)|0≤x≤π,0≤y≤π}上的最大值点是(π,π)。（√）6.函数f(x,y)=ln(x)+ln(y)在区域D={(x,y)|x>0,y>0}上的最小值点是(1,1)。（√）7.若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处Hessian矩阵正定，则f(x0,y0)是极大值。（×）8.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+1在点(1,-2)处取得极小值。（√）9.函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy在点(1,1)处取得极值，且为极小值。（×）10.函数f(x,y)=x^2+2y^2-xy在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最大值点是(1,0)。（√）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述多元函数极值的必要条件和充分条件。答：必要条件：若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处可微，则必有f_x(x0,y0)=0且f_y(x0,y0)=0。充分条件：若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处Hessian矩阵正定，则f(x0,y0)是极小值；若Hessian矩阵负定，则f(x0,y0)是极大值。2.如何判断多元函数极值点的类型？答：通过计算Hessian矩阵的符号来判断。若Hessian矩阵正定，则极值点为极小值点；若Hessian矩阵负定，则极值点为极大值点；若Hessian矩阵不定，则极值点可能不是极值点。3.多元函数最值求解的一般步骤是什么？答：首先在区域内部求驻点；然后在边界上求最值；最后比较内部驻点和边界最值，确定全局最值。4.举例说明如何用拉格朗日乘数法求解条件极值。答：例如，求函数f(x,y)=x^2+y^2在约束条件x+y=1下的极值。构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x^2+y^2+λ(x+y-1)，求解L_x=0，L_y=0，L_λ=0，得到驻点(1/2,1/2)，此时f(1/2,1/2)=1/2。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.求函数f(x,y)=x^2+y^2-4x+6y+9在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最值。解：首先在区域内部求驻点，解f_x=0，f_y=0得到驻点(2,-3)，但该点不在D内。然后在边界上求最值，边界方程为x^2+y^2=4，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x^2+y^2-4x+6y+9+λ(x^2+y^2-4)，求解L_x=0，L_y=0，L_λ=0得到驻点(2,0)和(-2,0)，此时f(2,0)=1，f(-2,0)=9。比较内部和边界最值，得到最小值1，最大值9。2.求函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤1}上的最值。解：首先在区域内部求驻点，解f_x=0，f_y=0得到驻点(0,0)和(1,1)，此时f(0,0)=0，f(1,1)=-1。然后在边界上求最值，边界方程为x^2+y^2=1，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x^3+y^3-3xy+λ(x^2+y^2-1)，求解L_x=0，L_y=0，L_λ=0得到驻点(1,0)，(0,1)，(-1,0)，(0,-1)，此时f(1,0)=1，f(0,1)=1，f(-1,0)=1，f(0,-1)=1。比较内部和边界最值，得到最小值-1，最大值1。3.求函数f(x,y)=e^(x+y)-2x-2y在区域D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的最小值。解：首先在区域内部求驻点，解f_x=0，f_y=0得到驻点(1,1)，此时f(1,1)=e^2-4。然后在边界上求最值，边界包括x=0和y=0，此时f(0,0)=1，f(0,y)=e^y-2y，f(x,0)=e^x-2x，分别求导得到边界上的驻点为(0,1)和(1,0)，此时f(0,1)=e-2，f(1,0)=e-2。比较内部和边界最值，得到最小值e-2。4.求函数f(x,y)=x^2+4y^2-4xy在区域D={(x,y)|x^2+y^2≤4}上的最值。解：首先在区域内部求驻点，解f_x=0，f_y=0得到驻点(0,0)和(2,1)，此时f(0,0)=0，f(2,1)=4。然后在边界上求最值，边界方程为x^2+y^2=4，构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=x^2+4y^2-4xy+λ(x^2+y^2-4)，求解L_x=0，L_y=0，L_λ=0得到驻点(2,0)，(-2,0)，(0,2)，(0,-2)，此时f(2,0)=4，f(-2,0)=4，f(0,2)=16，f(0,-2)=16。比较内部和边界最值，得到最小值0，最大值16。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.C4.C5.C6.C7.B8.B9.A10.A二、填空题1.(2,-3)，-52.(1,-2)3.(1,1)，-14.(1,1)，05.(2,0)，86.正定7.(π,0)，-18.(1,1)，2ln(2)9.极大值10.(1,-2)，-5三、判断题1.×2.√3.×4.×5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.必要条件：若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处可微，则必有f_x(x0,y0)=0且f_y(x0,y0)=0。充分条件：若函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且在该点处Hessian矩阵正定，则f(x0,y0)是极小值；若Hessian矩阵负定，则f(x0,y0)是极大值。2.通过计算Hessian矩阵的符号来判断。若Hessian矩阵正定，则极值点为极小值点；若Hessian矩阵负定，则极值点为极大值点；若Hessian矩阵不定，则极值点可能不是极值点。