工程力学-材料力学-第07章--应力与应变分析

1、第七章 应力与应变分析,7.1 一点的应力状态,7.2 平面应力状态分析,7.3 三向应力状态下的最大应力,材料力学,7.6 广义胡克定律,7.7 复杂应力状态下的应变比能,7.1 一点的应力状态,一、概述,二、一点的应力状态,第七章 应力与应变分析,三、应力状态的表示方法,四、应力状态的分类,五、应力状态的实例,7.1 一点的应力状态,前面讨论了：,杆件在基本变形情况下横截面上的应力,并根据横截面上的最大应力建立了强度条件,例如：,一、概述,1.轴向拉伸（压缩）,2.剪切,4.弯曲,7.1 一点的应力状态,3.扭转,上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏的,实际上,有一些杆件是沿横截面破坏的

2、,例如：,铸铁在拉伸时,低碳钢在扭转时,7.1 一点的应力状态,上述强度计算中认为：杆件是沿横截面破坏的,实际上,有一些杆件是沿横截面破坏的,另一些杆件是沿斜截面破坏的,例如：,铸铁在压缩时,铸铁在扭转时,前面所建立的强度条件不能用于这类构件的强度计算,7.1 一点的应力状态,必须建立新的强度条件，必须研究斜截面上的应力,弯曲变形中，横截面上的应力：,不同的点的应力情况是不同的,7.1 一点的应力状态,二、一点的应力状态,轴向拉伸（压缩）中，斜截面上的应力：,不同的斜截面上的应力情况是不同的,7.1 一点的应力状态,任意两个斜截面上的应力有必然的联系,二、一点的应力状态,一点的应力状态：,受力

3、杆件内任一点在各个截面上应力状况的集合,称为该点的应力状态。,例如：在轴向拉伸（压缩）时,由于铸铁的抗切能力较弱,铸铁在轴向压缩时的破坏实际上是由max引起的,7.1 一点的应力状态,单元体,边长为无穷小的正六面体,单元体的特点：,1.边长无穷小，相邻面垂直，对面平行；,2.各面上的应力均匀分布；,3.相平行面上的应力相等。,7.1 一点的应力状态,三、应力状态的表示方法,7.1 一点的应力状态,围绕该点截取一单元体，并标出各面上的应力,表示方法：,7.1 一点的应力状态,围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力,表示方法：,主平面切应力为零的平面,主应力主平面上的正应力,7.1 一点的应力状

4、态,围绕该点截取一单元体，并标明各面上的应力,表示方法：,可以证明：,受力构件的任一点可以找到三个相互垂直的主平面,即：受力构件的任一点有三个主应力,主应力单元体受主应力作用的单元体,规定：按代数值大小排列成,7.1 一点的应力状态,单向应力状态,只有一个主应力不等于零的应力状态,二向应力状态, 有 二个主应力不等于零的应力状态,三向应力状态, 三个主应力都不为零的应力状态,7.1 一点的应力状态,四、应力状态的分类,单向应力状态,简单应力状态,二向应力状态,平面应力状态,三向应力状态,空间应力状态,复杂应力状态,7.1 一点的应力状态,四、应力状态的分类,1.单向应力状态,轴向拉伸杆件内的任

5、一点,7.1 一点的应力状态,五、应力状态的实例,锅炉或其它薄壁圆筒形容器壁上的任一点,轴向应力：,环向应力：,7.1 一点的应力状态,2.二向应力状态,在滚珠轴承中，滚珠与外圈接触点 A,7.1 一点的应力状态,3.三向应力状态,7.2 平面应力状态分析,一、概述,二、平面应力状态分析的解析法,三、平面应力状态分析的图解法,第七章 应力与应变分析,7.2 平面应力状态分析,7.2 平面应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,平面应力状态通常用平面图形表示,规定：,正应力拉为正,压为负,切应力绕研究体顺时针转为正,逆时针转为负,切应力的第一个下标表示作用面,第二个下标表示方向,7.2 平面

6、应力状态分析,二、平面应力状态分析的解析法,规定：,用截面法求斜截面be上的应力, 以 x 轴逆时针转到 x 轴时为 +,7.2 平面应力状态分析,1.任一斜截面上的应力,7.2 平面应力状态分析,规定：,用截面法求斜截面be上的应力, 以 x 轴逆时针转到 x 轴时为 +,1.任一斜截面上的应力,即斜截面上的应力为,7.2 平面应力状态分析,即斜截面上的应力为,7.2 平面应力状态分析,即斜截面上的应力为,结论1 任意相互垂直平面上的正应力之和为常量,7.2 平面应力状态分析,(1)正应力发生极值的方向,令,得到,7.2 平面应力状态分析,2.主平面与主应力,(2)主平面的方位,结论2 主应

7、力就是极值正应力,结论3 主应力(即主平面)是相互垂直的,(1)正应力发生极值的方向,7.2 平面应力状态分析,2.主平面与主应力,(3)主应力的大小,7.2 平面应力状态分析,2.主平面与主应力,(4)主应力与主平面的对应关系,max的指向朝着xy指向的那一侧,7.2 平面应力状态分析,2.主平面与主应力,(3)主应力的大小,(1)切应力发生极值的方向,令,得到,7.2 平面应力状态分析,3.极值切应力,(1)切应力发生极值的方向,(3)极值切应力的大小,(2)极值切应力的方位,7.2 平面应力状态分析,3.极值切应力,7.2 平面应力状态分析,3.极值切应力,解：,扭时的破坏原因,试样内任

8、一点处于纯剪切应力状态,纯剪切应力状态为二向应力状态,铸铁试样受扭时的破坏是由拉应力所致，且由外向内逐渐破坏,例 1 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试样受,取单元体,由,有,圆的方程,圆心为,半径为,的圆,应力圆,莫尔圆,应力圆上的点与单元体斜截面上的应力一一对应,1.原理,7.2 平面应力状态分析,三、平面应力状态分析的图解法,2.应力圆的作法,(1)选取平面直角坐标系 ；,(2)按比例标出D1(x,xy)和D2(y,yx)两点；,(3)用直线连接D1和D2两点，交 轴于C点；,(4)以C为圆心，以CD1或CD2为半径作圆，即得应力圆,7.2 平面应力状态分析,证明：由此作出的圆为应力

9、圆,圆心：,半径：,7.2 平面应力状态分析,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,7.2 平面应力状态分析,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,7.2 平面应力状态分析,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,将半径逆时针旋转2角,注意：单元体上逆时针转 应力圆上逆时针转2,7.2 平面应力状态分析,(2)利用应力圆确定主应力与主平面,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,7.2 平面应力状态分析,

10、(2)利用应力圆确定主应力与主平面,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,7.2 平面应力状态分析,(2)利用应力圆确定主应力与主平面,(3)利用应力圆确定极值切应力及其作用面,3.应力圆与单元体的对应关系,(1)利用应力圆确定单元体任一斜截面上的应力,7.2 平面应力状态分析,例 2 试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的,解：,主应力和主平面方位,1.取单元体,2.求主应力和主平面的方位,(1).解析法,极值应力：,主应力：,主平面：,例 2 试用解析法和图解法求梁在横力弯曲时任一点的,解：,主应力和主平面方位,1.取单元体,2.求主应力和主平面的

11、方位,(2).图解法,主应力：,主平面：,作应力圆,7.3 三向应力状态下的最大应力,一、应力圆,第七章 应力与应变分析,二、最大切应力,7.3 三向应力状态下的最大应力,已知1、2、3,与3的主平面垂直的斜截面上的应力仅与1和2有关,与1的主平面垂直的斜截面上的应力仅与2和3有关,与2的主平面垂直的斜截面上的应力仅与3和1有关,一、应力圆,研究表明：,任意斜截面abc上的应力必位于以上述三个应力圆,为边界所围成的区域内,7.3 三向应力状态下的最大应力,一、应力圆,研究表明：,7.3 三向应力状态下的最大应力,任意斜截面abc上的应力必位于以上述三个应力圆,为边界所围成的区域内,一、应力圆,

12、由应力圆可知：,7.3 三向应力状态下的最大应力,二、最大切应力,注意区别：,一点的最大切应力,平面应力状态中的最大切应力,7.3 三向应力状态下的最大应力,二、最大切应力,解：,主应力：,最大切应力：,(a),对(b)：,(b),(c),对(a)：,例 3 试求图示应力状态的主应力和最大切应力。,7.6 广义胡克定律,一、广义胡克定律,二、E、G 之间的关系,第七章 应力与应变分析,7.6 广义胡克定律,一、广义胡克定律,1.单向应力状态,或,2.纯剪切应力状态,或,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,7.6 广义胡克定律,3.复杂应力状态,(1)主应力情况,7.6 广义胡克定律,3.复杂应

13、力状态,(1)主应力情况,用主应力和主应变表示的广义胡克定律,7.6 广义胡克定律,3.复杂应力状态,(2)一般应力情况,对于各向同性材料：,线应变只与正应力有关,切应变只与切应力有关,广义胡克定律,7.6 广义胡克定律,3.复杂应力状态,(1)平面应力状态,(2)平面应变状态,两种平面状态：,7.6 广义胡克定律,3.复杂应力状态,对于平面应力状态,或,7.6 广义胡克定律,二、E、G 之间的关系,对于纯剪切应力状态,一方面：,(1),另一方面：,(2),由(1)和(2)：,7.6 广义胡克定律,7.7 复杂应力状态下的应变比能,一、比能,二、单向应力状态下的比能,第七章 应力与应变分析,三、复杂应力状态下的比能,7.7 复杂应力状态下的应变比能,一、比能,变 形 能(U),在线弹性阶段,(即一点的变形能),应变比能(u),受力物体因变形而储存的能量,单位体积内的变形能,比能,功能原理,二、单向应力状态下的比能,变形能,比 能,7.7 复杂应力状态下的应变比能,三、复杂应力状态下的比能,1.总比能,根据,7.7 复杂应力状态下的应变比能,1.总比能,uv 体积改变比