中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)

1、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不

2、同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养

3、，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年上海)如图1,在半径为6,圆心角为90的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PHOA,垂足为H,OPH的重心为G.(1)当

4、点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH,GP,求关于的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量的取值范围).HMNGPOAB图1(3)如果PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长.解:(1)当点P在弧AB上运动时,OP保持不变,于是线段GO、GP、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=NH=OP=2.(2)在RtPOH中, , .在RtMPH中,.=GP=MP= (06).(3)PGH是等腰三角形有三种可能情况:GP=PH时,解得. 经检验, 是原方程的根,且符合题意.GP=GH时, ,解得. 经检验

5、, 是原方程的根,但不符合题意.PH=GH时,.综上所述,如果PGH是等腰三角形,那么线段PH的长为或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中，直接或间接地构造了直角三角线，因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理，在运用勾股定理写函数解析式的过程中，主要是找边的等量关系，要善于发现这种内在的关系，用代数式去表示这些边，达到解题的目的. 由于是压轴题，有的先有铺垫，再写解析式；有的写好解析式后，再证明等腰三角形、相似三角形等，还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会，达到举一反三的目的. 1 牢记勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题，

6、扇形中AOB=45，半径OB=2，矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上，Q在半径OB上，R在弧AB上，连结OR. （1） 当AOR=30时，求OP长（2） 设OP=x，OS=y，求y与x的函数关系式及定义域 2 在四边形的翻折与旋转中，往往会应用到勾股定理，由此产生些函数解析式的问题，要熟练掌握.例题：如图，正方形ABCD中，AB=6，有一块含45角的三角板，把45角的顶点放在D点，将三角板绕着点D旋转，使这个45角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F（点E与点A、B不重合）（1） 从几个不同的位置，分别测量AE、EF、FC的长，从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系？并证明

7、你所得到的结论（2） 设AE=x，CF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（3） 试问BEF的面积能否为8？如果能，请求出EF的长；如果不能，请说明理由. 3 在一些特殊的四边形中，如矩形、正方形，它们都是直角，菱形的对角线互相垂直，这些都有可能构造直角三角形，可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题：如图，在菱形ABCD中，AB=4，B=60，点P是射线BC上的一个动点，PAQ=60，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y（1） 求证：三角形APQ是等边三角形（2） 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3） 如果PDAQ，求BP的值 4 作底边上的高，可以构造

8、直角三角形，利用勾股定理写函数的解析式例题：如图，等边ABC的边长为3，点P、Q分别是AB、BC上的动点（点P、Q与ABC的顶点不重合），且AP=BQ，AQ、CP相交于点E. （1） 如设线段AP为x，线段CP为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（2） 当CBP的面积是CEQ的面积的2倍时，求AP的长（3） 点P、Q分别在AB、BC上移动过程中，AQ和CP能否互相垂直？如能，请指出P点的位置，请说明理由. 5 在解圆的题目时，首选的辅助线是弦心距，它不仅可以运用垂径定理，而且构造了直角三角形，为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题：如图，A和B是外离的两圆，两圆的连心线分别交A、B于E

9、、F，点P是线段AB上的一动点（点P不与E、F重合），PC切A于点C，PD切B于点D，已知A的半径为2，B的半径为1，AB=5.（1） 如设线段BP的长为x，线段CP的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域（2） 如果PC=PD，求PB的长（3） 如果PC=2PD，判断此时直线CP与B的位置关系，证明你的结论 6 强调圆的首选辅助线是弦心距，它不仅可以平分弦，而且构造 了直角三角形，为解题创建新思路.例题：如图，在ABC中，AB=15,AC=20,cotA=2，P是边AB上的一个动点，P的半径为定长. 当点P与点B重合时，P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且P与边AC相交于点

10、M和点N时，设AP=x，MN=y.(1) 求P的半径(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域(3) 当AP=6时，试比较CPN与A的大小，并说明理由 阶梯题组训练1 如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y.（1） 当BEF是等边三角形时，求BF的长；（2） 求y与x之间的函数解析式，并写出它的定义域；（3） 把ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A处，试探索：ABF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由. 2 如图，在ABC中，ACB=90，A=30，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点

11、，DEAB，垂足为点E，M是BD的中点.（1） 求证：CM=EM;（2） 如果BC=设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 当点D在线段AC上移动时，MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化. 3 ABCD中，对角线ACAB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，APPM(点M与点B分别在直线AP的两侧)，且PAM=CAD，连结MD.(1) 当点M在 ABCD内时，如图，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；(2) 请在备用图中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与AMD相似的三角

12、形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；(3) 当为等腰三角形时，求BP的长.4 抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，）.（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线的顶点为P，把APB翻折，使点Pl落在线段AB上（不与A、B重合），记作P，折痕为EF，设AP=x，PE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3） 当点P在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使EFP的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请你说明理由.5 如图，矩形ABCD中，AD=7，AB=BE=2，点P是EC（包括E、C）上的动点，线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G，设BP

13、=x，AG=y.（1） 四边形AFPG是说明图形？请说明理由；（2） 求y与x的函数关系式；（3） 如果分别以线段GP、DC为直径作圆，且使两圆外切，求x的值.6 在梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，AB=4，AD=5，CD=5. E为底边BC上一点，以点E为圆心，BE为半径画E交直线DE于点F.（1） 如图，当点F在线段DE上时，设BE=x，DF=y，试建立y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2） 当以CD为直径的O与E相切时，求x的值；（3） 连结AF、BF，当ABF是以AF为腰的等腰三角形时，求x的值.7 如图，在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长

14、为半径的圆的一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交DC于点F，G为切点.（1） 当DEF=45时，求证点G为线段EF的中点；（2） 设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的解析式；（3） 将DEF沿直线EF翻折后得D1EF，如图2，当EF=时，讨论AD1D与ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.（2003年上海第27题）二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年山东）如图2,在ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=CE=. (1)如果BAC=30,DAE=1

15、05,试确定与之间的函数解析式； AEDCB图2 (2)如果BAC的度数为,DAE的度数为,当,满足怎样的关系式时,(1)中与之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30, ABC=ACB=75, ABD=ACE=105.BAC=30,DAE=105, DAB+CAE=75, 又DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADBEAC, , , .OFPDEACB3(1)(2)由于DAB+CAE=,又DAB+ADB=ABC=,且函数关系式成立,=, 整理得.当时,函数解析式成立.例3(2005年上海)如图3(1),在ABC中,ABC=90,AB=4,

16、BC=3. 点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EPED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.PDEACB3(2)OF(1)求证: ADEAEP.(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP的长.解:(1)连结OD.根据题意,得ODAB,ODA=90,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=ADO=90, ODBC, ,OD=,AD=. AE=. ADEAEP, , . ().(3)当BF=1

17、时， 若EP交线段CB的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90, FPB=DPE,F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-=4,得.可求得,即AP=2.若EP交线段CB于点F,如图3(2), 则CF=2.类似,可得CF=CE.5-=2,得.可求得,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中，存在平行或相似的三角形，利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式，一个变量是线段，也是利用相似或平行来构造比例式，从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题，一般情况下

18、写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目，可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式，从而建立函数关系式.例题：如图，在ABC中，AB=AC=4,BC=AB，点P是边AC上的一个点，AP=PD，APD=ABC，连结DC并延长交边AB的延长线于点E（1） 求证：AD/BC（2） 设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域（3） 连结BP，当CDP与CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由 2 由三角形相似得到比例式，建立函数关系式例题：如图，在正方形ABCD中，AB=2，E为线段CD上一点（点E与点C、D不重合），FG垂直平分AE，且交AE于

19、F，交AB延长线于G，交BC于H.（1） 证明：ADEGFA（2） 设DE=x，BG=y，求y关于x的函数解析式及定义域（3） 当BH=时，求DE的长 3 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候，初中阶段的知识已经学了不少，对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写解析式前有一些证明或计算，写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目，各个击破，难题也就变简单了.例题：如图，在RtABC中，C=90，sinB=，AC=4；D是BC的延长线上一个动点，EDA=B，AE/BC.(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明(2) 设CD=x

20、，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域(3) 当ADE为等腰三角形时，求AE的长 4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的，下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题：如图，在直角坐标系中的等腰梯形AOCD中，AD/x轴，AO=CD=5，=，cos=，P是线段OC上的一个动点，APQ=,PQ交射线AD于点Q，设P点坐标为（x，0），点Q到D的距离为y（1） 求过A、O、C 三点的抛物线解析式（2） 用含x的代数式表示AP的长（3） 求y与x的函数解析式及定义域（4） CPQ与AOP能否相似？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由5 当一个变量是比例式，另一个变量是一条

21、线段，怎样来写函数的解析式呢？可以根据题目的要求，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B、C的坐标分别为（-1，0），C（0，b），且0b3，m是经过点B、C的直线，当点C在线段OC上移动时，过点A作ADm于点D.(1) 求点D、O之间的距离(2) 如果=，试求：与b的函数关系式及的取值范围(3) 当ADO的余切值为2时，求直线m的解析式(4) 求此时ABD与BOC重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候，初中阶段的知识已经学得差不多了，对于一些貌似很复

22、杂的图形，只要能够分层求解，就能化繁为简.例题：如图，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，连结MF交线段AD于点P，连结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y.（1） 求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围（2） 当NPF的面积为32时，求x的值（3） 以P为圆心，AP为半径的圆能够与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由练习：1. 如图，在三角形中，AB=AC=8，BC=10，点D、E分别在BC、AC上（点D不与B、C重合），且ADE=B，设BD=x，AE=y.（1） 求y

23、与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域（2） 点D在BC上的运动过程中，ADE是否有可能成为一个等腰三角形？如有可能，请求出当ADE为等腰三角形时x的值;如不可能，请说明理由.2. 在ABC中，AB=4，AC=5，cosA=，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足AED=A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y.（1） 如图1，用含x的代数式表示线段AE的长（2） 如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域（3） 连结EC，如图2，求档x为何值时，AEC与BEF相似. 3. 如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、

24、C重合）.连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y.(1) 求y关于x的函数关系式(2) 若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？(3) 若y=，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？4. 已知在梯形ABCD中，AD/BA，ADBC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点.（1） 如图，P为BC上的一点，且BP=2. 求证：BEPCPD；（2） 如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD与点F，同时交直线AD于点M，那么（3） 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数

25、的定义域；（4） 当SDMF=SBEP时，求BP的长. 5. 如图，在四边形ABCD中，B=90，AD/BC，AB=4，BC=12，点E在边BA的延长线上，AE=2，点F在BC边上，EF与边AD相交于点G，DFEF，设AG=x，DF=y.（1） 求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2） 当AD=11时，求AG的长；（3） 如果半径为EG的E与半径为FD的F相切，求这两个圆的半径. 6. 如图，在半径为5的O中，点A、B在O上，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y.(1) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(2) 若O1与O相交于

26、点A、C，且O1与O的圆心距为2，当BD=OB时，求O1的半径；(3) 是否存在点C，使得DCBDOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由.7. 已知ABC=90，AB=2，BC=3，AD/BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足=(如图1所示)（1） 当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2） 在图1中，连结AP. 当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，=y，其中SAPQ表示APQ的面积，SPBC表示PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3） 当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小.（2009上海第25题） 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式ABCO图8H例4（2004年上海）如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=,A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,AOC的面积为.(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当O与A相切时,AOC的面积.解:(1)过点A作AHBC,垂足为H.BAC=90,AB=AC=, BC=4,AH=BC=2. OC=4-., ().(2)当O与A外切时,在RtA