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文档简介

1、此文发表在数学通讯学生刊2009年第1期一道高考题的一种解法探源及推广陈继雄（蕲春一中 湖北 435300）例（97全国高考题（理）25题）设圆满足截轴所得弦长为2；被轴分成两段圆弧，其弧长比为3：1，在满足条件的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程分析：设圆的圆心为，半径为，由得，由消去得圆心轨迹为，怎样求圆心到直线的距离的最小值是解决问题的关键解决这道题的方法较多，其中有一种方法比较引人注目，那就是基本不等式法：因为，所以，当且仅当时，d取最小值，结合得，于是易得圆方程（略）很多资料和杂志上介绍了这一方法，不过都未介绍这种方法是怎样想到的，这就使学生有一种神秘感，觉得方法太巧妙，不好

2、使用，故学生收益不大，文1对此方法有一评注：上述解法巧妙异常，但有很大的局限性，若将直线改为，则上述方法未必奏效。笔者对此题进行了研究，现将研究过程及得到结果叙述如下：1 此解法究竟巧在何处？由可以看出，关键将放缩成，且放缩这后结果恰为（而已知条件），这里若局限于拼凑，很难操作，因为不知怎么放缩（不知有多少项参与放缩，如除项外是否有项或项）能恰到好处地得到定值，此时变通一下，想到上述过程得到了即（这里的）至此想到这个证法本质是将与组合了一下（前者与后者的-1倍的和）恰好得一个平方式的2倍，这就有理由猜想这里-1可以用待定系数法待定而得到。此念一旦产生，即付诸实践。，令（由前结果为平方式易想到）

3、，得，这里时未发生变化，而正是前面证明过程所需的。2 能扩大战果吗？初战告捷确实令人振奋，用此法能解文1所提问题吗，不妨试一下，此时圆心到直线的距离，令得时（进一步可求得此时值及圆方程）.至此可回答，文1的担心是多余的，此方法对直线也是奏效的.3 能推广到更一般情形吗？设圆心轨迹，求圆心到直线距离d的最小值.解： 令得（）其中“”当且仅当时成立，消去b得时方程组无解，式中“”取不到，而其中“”当时取，“”也取不到，故d无最小值.时方程组无解（）式中“”取不到，此时“”当 此时上式中“”可取到，故由（）得 （“”当或） 时 取 4 一般情形中的几何意义一般情形本质上即：已知双曲线上任一点（），求其到直线的距离最小值 此时3 中情形直线为曲线渐近线，故此时d无最小值.情形时，与曲线相交，故，情形时

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