等差数列教案

1、1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件：但 代入公式1即得： 此公式要求必须已知三个条件：3 等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A、B为常数)4 等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_大_值；若a10，则Sn存在最_小_值例题例1 在等差数列an中，已知a514，a720，求S5.解：d3，a1a54d14122，所以S540.1在等差数列an中，S10120，则a2a9()A12 B24C36 D

2、48解析：选B.S105(a2a9)120.a2a924.2已知等差数列an的公差为1，且a1a2a98a9999，则a3a6a9a96a99()A99 B66C33 D0解析：选B.由a1a2a98a9999，得99a199.a148，a3a12d46.又a3n是以a3为首项，以3为公差的等差数列a3a6a9a9933a3333(4846)66.3若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()A13项 B12项C11项 D10项解析：选A.a1a2a334，anan1an2146，又a1ana2an1a3an2，得3(a1an)180，a1an

3、60.Sn390.将代入中得n13.4已知数列an的前n项和公式为Snn223n2(nN*)(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中解：(1)a3S3S218.(2)n1时，a1S124，n2时，anSnSn12n24，即an由题设得2n2474(n2)，解得n49.74在该数列中5设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN*)，则a1a2a17_.解析：由题意得an1an2，an是一个首项a17，公差d2的等差数列a1a2a17S1717(7)2153.答案：1536已知an是等差数列，a4a66，其前5项和S510，则其公差为d_.解析：a4a6a13da15d6.S5

4、5a15(51)d10.由得a11，d.答案：7设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：由等差数列的性质知S99a59，a51.又a5a12a1a169，S168(a1a16)72.答案：728已知等差数列an中，a1a2a3an且a3，a6为方程x210x160的两个实根(1)求此数列an的通项公式；(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由解：(1)由已知条件得a32，a68.又an为等差数列，设首项为a1，公差为d，解得.an2(n1)22n4(nN*)数列an的通项公式为an2n4.(2)令2682n4(nN*)，解得n136.268

5、是此数列的第136项9已知数列an是等差数列(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)Sn20，S2n38，求S3n.解：(1)由题意知a1a2a3a421，an3an2an1an67，所以a1a2a3a4an3an2an1an88.所以a1an22.因为Sn286，所以n26.(2)因为Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，所以S3n3(S2nSn)54. 10等差数列an的前n项和为Sn，若a21，a33，则S4()A12 B10C8 D6解析：选C.da3a22，a11，S44a128.11在等差数列an中，a2a519，S540，则a10()A24 B2

6、7C29 D48方法与技巧1等差数列的判断方法(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2 (nN)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn (A、B为常数)an是等差数列2方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可视具体情况而定失误与防范1当公差d0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d0时，an为常

7、数2公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列题型一等差数列的基本运算例1在等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值思维启迪等差数列基本量的计算，基本思想就是根据条件列方程，求等差数列的首项与公差解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，

8、解得k7或k5.又kN，故k7.思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法题型二等差数列的性质及应用例2(1)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45 C36 D27(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A13 B12 C11 D10(3)已知Sn是等差数列an的

9、前n项和，若a12 014，6，则S2 013等于()A2 013 B2 013 C4 026 D4 026思维启迪(1)根据S3，S6S3，S9S6为等差数列解此题；(2)利用a1ana2an1a3an2求n；(3)数列为等差数列答案(1)B(2)A(3)C解析(1)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故选B.(2)因为a1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因为a1ana2an1a3an2，所以3(a1an)180，从而a1an60，所以Sn390，即n13.

10、(3)由等差数列的性质可得也为等差数列又6d6，d1.故2 012d2 0142 0122，S2 01322 0134 026，故选C.思维升华在等差数列an中，数列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列；也是等差数列等差数列的性质是解题的重要工具1、若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A12 B13 C14 D15答案(1)B解析(1)由题意得S55a325，故a35，公差da3a22，a7a25d35213.2、记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6等于()A16 B24 C36 D48答案 (2)D解析 (2)S426d20，d3，故S6315d48.3、已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足1，则数列an的公差是()A. B1 C2 D3答案(3)C解析(3)Sn，又1，得1，即a3a22，数列an的公差为2.4、设数列an是等差数列，若a3a4a512，则a1a2a