10 7 ppt一阶常系数线性差分方程

1、10.2一阶常系数线性差分方程一、齐次方程的通解二、非齐次方程的特解与通解一、齐次方程的通解一阶常系数线性差分方程一般形式为+ ayn =n = 0, 1, 2, L(10 - 13)yn+1f (n),f (n)为已知函数,其中a 为非零常数,方程(10 - 13) 的对应齐次方程为+ ayn = 0,n = 0, 1, 2, L(10 - 14)yn+1方程(10 - 14变)yn+1形后改写为= -ayn ,n = 0, 1, 2, L这是等比数列所满足的关系式, 由等比数列通项公式y= (-a)n yn = 0, 1, 2, L可以得到,n0从而得到方程 (10 - 14) 的通解y

2、= C(-a)n ,n = 0, 1, 2, L(10 - 15)其中C 为任意常数.或特征根法：yn+1 + ayn= 0,其特征方程：n = 0, 1, 2, L(10 - 14)l + a = 0,从而得到方程的通解。二、非齐次方程的特解与通解1.f (n) = Pm (n),Pm (n) 为m 次多项式,则方程(10 - 13) 为+ ayn = Pm (n)(10 - 16)yn+1可设 y*(n) = Q(n)为特解,根据 f (n) 的形式,代入方程(10 - 16),有Q(n) 为多项式,Q(n + 1) + aQ(n) = Pm (n)若 a -1,要使方程恒等 , 则应设于

3、是,y*(n) = a nm+ a nm-1+ L+ an + am-101m代入方程后,其中a0 ,a1,L,am 为待定系数,比较同幂次系数, 可以解代数方程确定待定系数.则应设要使方程恒等,若 a = -1,y*(n) = nQ(n) = a nm+1 + a nm +L+ an2+ an.m-1m01m代入方程代入方程,比较同幂次系数,可以解出式中的待定系数 a0 , a1 , L ,am .即（1）若1不是特征方程的根，则y(n) = Q*(n).(n).m（2）若1是特征方程的根，则y* (n) = nQm求差分方程 yn+1 - yn = n + 3 的通解.例1解特征方程为l

4、-1 = 0,y = C 1n = C对应齐次方程的通解为代入原方程, 有由于1是特征根，设 y*(n) = n(a n + a ),01a (n + 1)2 + a (n + 1) - a n2 - a n = n + 30101a= 1 ,a= 5 ,y*(n) = 1 n2+ 5 n,比较系数得所以012222y(n) = C + 1 n2 + 5 n,所给方程通解为22其中C 为任意常数.求差分方程 yn+1 - 2 yn = 2n- 1 的通解.2例2因a = -2,解对应齐次方程的通解为y = C (2)n = C 2n设 y*(n) = a n2 + a n + a有-1, 代入

5、原方程,012- a n2 + (2a- a )n + (a+ a- a) = 2n20比较系数得01012a0 = -2, a1 = -4, a2 = -5,所以得y*(n) = -2n2 - 4n - 5,从而所给方程的通解为y = C 2n - 2n2 - 4n - 5其中C 为任意常数.f (n) = bdn , 即 f (n) 为指数函数, 这时方程(10 - 13)2.为+ ayn = bdn(10 - 17)yn+1其中a , b 为非零常数.根据 f (n) 的形式,可设 y* = Ankdn,A为待定系数,n代入方程有(n +1)k Ad + nk Aa = b于是, 当a

6、-d 时,要等式恒成立, 应取 k = 0,从而得到y*(n) = Ad nb代入方程,解得 A =,a + d于是方程(10 - 17) 的特解为by*(n) =dna + d从而得到当a = -d 时, 要使等式恒成立, 应取 k = 1,y*(n) = And n可得 A = b ,代入方程 (10 - 17) ,d于是方程(10 - 17) 的特解为y*(n) = b ndn ,d综上讨论,于是方程(10 - 17)的通解可表示为C (-a)nba + d+a -dd n ,=ynbd C +na = -dn d,其中C 为任意常数.例3 求方程 yn+1 + 2 yn特解.= 3 2n满足初始条件 y0 = 4 的所给方程的通解为yn = C(-2)由 y= 4, 得 C = 13 ,3n+ 24n04求方程 yn+1 + 2 yn = 2n - 1 + e的通解.n对应齐次方程的通解为y = C(-2)n例5解于是设 y*(n) = a n + a, y*(n) = Aen ,1012代入方程有y*(n) = a n + a+ Aen013a n + a+ 3a+ ( Ae + 2A)en = 2n