4_2能控性定义及其判别准则

1、1,定义：若存在一个任意的控制向量 , 能在有限的时间 内，把系统从初始状态 (t0可为0)转移到终止状态 ，则称系统状态在t0时刻是能控的；若系统对任意一个初始状态都能控，则称系统的状态完全能控的，或简称系统是能控的.,第二节 能控性定义及其判别准则,线性定常能控性的定义,设线性定常系统的状态方程为：,2,由定义可知： 1) 系统能控性定义中的初始状态x(t0)是状态空间中任意的非零有限点，控制的目标是状态空间的原点. 2) 如果在时间区间t0,t1内存在控制向量u(t)，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态x(t1)，则称状态能达。系统的能控性与能达性是等价的。,3,1) 对于线性时

2、变系统，由于A(t)，B(t)是时变矩阵，系统状态向量 的转移，与初始时刻 的选取有关。,注意：,2)在上述定义中提到的控制向量u(t)是任意的，其选择并非唯一的，关心的只是能否将系统状态从x(t0)转移到x(t1)，并不关心转移的运动轨迹。,4,2. 线性定常连续系统的能控性判别准则,判别线性系统能控性的问题实际是判别状态方程式解的存在问题。根据系统状态方程和任意指定的初始状态，能否求得任意的控制向量，把初始状态 在有限的时间内转移到状态空间的原点。,状态方程的解的表达式为：,（1）卡尔曼（Kalman）准则：,5,6,若对任意给定的初始状态 ，都能解出 ，则系统具有能控性。要求矩阵 的秩为

3、n。（n为系统阶次，系统矩阵A的维数）,能控性矩阵,7,A,B称为能控对。 参考例题可看到： 能控标准型的能控性矩阵是三角阵，可证明系统是完全能控的。,8,例:以三阶系统为例，证明具有能控标准型状态方程的系统必定是状态完全能控的。,9,上式是一个三角形矩阵，其对角线元素为1，可以证明，无论 为何值，此矩阵均为满秩，故给定系统为状态完全能控的。,10,（2）吉伯特(Gilbert)准则：,卡尔曼能控性准则物理含义不很明显，下面介绍Gilbert准则。当系统的状态方程可化为对角线型或亚当标准型时，此方法比较方便。,下面给出将状态方程化为对角线型或亚当标准型的方法，同时根据能控性定义，给出吉伯特准则

4、。,11,设矩阵A的各特征值互不相同，则有一个nn维非奇异阵V将A化为对角线矩阵 ,首先考虑单变量系统（线性定常），其状态方程为：,即,12,用这种相似变换后得到的状态方程中状态变量是彼此解耦的，即每个状态变量都不受其它状态变量的影响，而只受控制作用的直接控制，显然，系统状态能控的条件是控制矩阵每个元素均不为零, 即,13,推广到多变量系统，变换后，状态方程为:,14,以上能控性条件只适用于特征值不同的系统，一般说来，这种系统状态方程能化为对角线型。 注意：某些具有重根特征值的矩阵也可变换为对角线阵。此时，上述条件不适用。,吉伯特准则： 对于一个具有不同特征值的控制系统，系统矩阵A 化为对角线

5、矩阵以后，状态完全能控的条件是， 矩阵中的行向量不为0。,15,若系统矩阵A有重特征值，并且可以用一个非奇异矩阵V将其变换为亚当标准型矩阵时，有：,16,在这种情况下，Gilbert提出的系统状态完全 能控的条件为： V-1B中与每个亚当块最后一行相对应的行向量不为0； V-1B中与不同特征值相对应的各行中元素不全为0；,解释： 第二个条件完全和无重特征值情况一致； 第一个条件只考察与亚当块最后一行对应的那一行，其它行可以为零。,17,以上述亚当矩阵J为例，假设是单变量系统，来说明第一个条件的合理性。,状态方程的前三个式子（对应于三重特征值 ）为：,解耦,18,因此对于重根，只需 V-1B 阵中对应亚当块的最后一行不全为0，就可保证该亚当块的其它状态变量能控。,若 ，则从第三式可知， 受 直接控制，第二式中 不受 控制，但包含 ， 能控则 能控， 也是同理。,19,例: 用Gilbert准则判断系统的能控性。,20,选择范德蒙矩阵（Vandmont）为变换矩