概率论与数理统计5 3置信区间

1、5.3置信区间设总体的分布中有一个未知参数为了估计,从总体中抽取样本X1 , X 2 ,., Xn ,所谓区间估计, 就是构造两个统计量q ( X, X) q ( X,., X, X,., X)112n212n以它们为端点得到区间 ( q , q ),一旦抽样实现后,12就得到一个具体的区间,如果重新抽样, 就得到另一区间, 即 (q , q ) 是一个随机区间.()12)q对这个随机区间有两个要求:1. 要求有很大的可能被包含在这个区间内.即要求 Pq 尽可能大. q q122. 估计的精度要尽可能高, 即(q , q ) 的长度q- q1221尽可能小.定义5.5正数0 设是一个要估计的参

2、数,对给定若由样本 X1 , X2 ,., Xn 确定的两个 1,统计量 q ( X),q ( X(q q, X,., X, X,., X),)12112n212n满足 Pq= 1 - a q q()q12则称区间(q , q ) 是的1 -a 置信区间. 称q和 q1212分别为置信下限 和置信上限. 1 - a 称为置信水平,也称置信度或置信概率.当一次抽样实现后, 得到样本观测值 x1 , x2 ,., xn即可得到一个具体的区间，称为置信区间(q , q )12的一个实现，也称为置信区间.的小U例 某地成年男性的身高 X (单位:米),已知X N (m, 0.12 ), 随机选25人,

3、身高分别为X, X,., X1225求一区间, 使它有95%的把保证包含解待估参数握先找一个的= EX是该地成年男性的平均身高.良好的点估计, 可选- N ()10.12X25m , N (0,1)= XiU =X25 i =10.125P -l U l= 0.9551 - a = 0.95,F0 (l ) = 0.975,y = j( x)查表得l = 1.960.0250.025m- X = 0.95P-1.96 1.96l = 1.96-l0.150.95U例 某地成年男性的身高X N (m, 0.12 )随机选25人,身高分别为 X1 , X 2 ,., X 25求一区间,使它有95%

4、的把保证包含 U =X -握解 N (0,1) N ()= 1 0.1225m , XiX0.1525 i =125 X - m0.150.95 =P -1.96 y = j ( x)1.960.0250.025= P -1.96 0.10.1 X - m 1.96 -ll = 1.9655= P -0.0392 m - X 0.0392= P X - 0.0392 m X + 0.0392 0.95Ul- N ()= 1 X0.12解25 N (0,1)m ,U = XiX0.125 i =1255 X - m0.1P -1.96 1.96y = j( x)0.95 =0.0250.0255

5、 = P X - 0.0392 m X + 0.0392 = 0.95l = 1.96区间( X - 0.0392,X + 0.0392 ) 有95%的把握包含的真值.当一次抽样实现后, 得 到一个具体的区间,如(1.73 - 0.0392,1.73 + 0.0392 )()它有95%的把握包含.0.95求置信区间的步骤:1.明确问题, 是求什么参数的置信区间?置信度是多少? 即 1 - a = ?2. 寻找待估参数的一个良好的点估计 T .3. 寻找一个待估参数和其估计量T的函数S(q , T ) 其分布为已知.S(q , T ) 已知分布.4.对于给定的置信水平 1 - a , 根据 S(

6、q ,的T 分)确定常数 a, b 使得 Pa S(q ,T ) b= 1 - a布,5.对 a S(q ,T ) b 作等价变形, 得到如下形式:Pq ( X, X)= 1 - a) q q ( X,., X, X,., X112n212n()是的1 - a 置信区间.则区间qq,12三、正态总体均值的区间估计设总体 X N (m, s 2 ),估计是来自X的样本.X1 , X 2 ,., Xn（1） s已2知,求的置信区间UX m1.s 已2知,求的置信区间的点估计-X N (0,1)U =o 2 N ()= 1 snm ,XnXini =1n对于给定的置信度 1 - a ,1 - a =

7、 P -l U l( 0 a 1)a2y = j ( x)a2a求出=由1 -(l ) =lFu,-ll = u 记2a02a2sm - s X 1 - a =-l m - X lP-l l= P snnn1 - aUX mllX - so 2 N ()= 1n N (0 ,1)m ,U =XnXini =1n1 - a =P -l U ly = j ( xa)a2由F(l ) = 1 - a ,求出l= u 2记2a2-ll = u a X - m s-l s1 - a =P-l ls2= P lnnn s= P X - ls m X + lnP1951 - a 置信区间.ns s X -

8、是的,X +n nma2ma2m - X1 -al例从某厂生产的一种钢球中随机抽取7个, 测得它们的直径为 5.52,5.41,5.18,5.32,5.64,5.22,5.76(单位:mm ),若钢球直径X N (m, 0.162 ), 求一区间, 使它有95%的把保证包含. sn s解握的1-置信区间为X - mX + m,a2a2n 1 - a =0.950 (l ) = 0.975Fy = j ( x)m =1.96a20.02510.025x =(5.52 + . + 5.76)= 5.440.95o 7-l0.16mX - ma2= 5.44 -1.96= 5.32a2(5.32,

9、5.56)n7 s= 5.44 + 1.96 0.16 = 5.56 为的95%置X + ma2信区间.n7设总体估计X N (m, s 2 )是来自X的样本.X1 , X 2 ,., Xn（2） s未2知,求的置信区间oTX mll2.s 未2知,求的置信区间-X的点估计 t (n - 1)T =o 2i N () S= 1nm ,XnXnni =1对于给定的置信度 1 - a ,查表得l = ta (n - 1) X - m S1 - a =P -l l2y = t( x)aan2= P-l S m - X l S2n n Sn-lP195l= ta (n - 1)2 m X + l SP

10、X - l=nSSn 是的1 - a 置信区间.X + X - ,nta (n - 1)2ta (n - 1)21 - an 1n 1例 某校高三女生的身高 X N (m, s 2 ),从中随机抽查10人, 测得身高如下:162,159.5,168, 160,157,166 求高三女生平均身高162, 163.4, 158.5,170.3,t(9)EX = m 的0.95置信区间.0.0250.025解 的1 - a 置信区间为-ll X - t) S,S(X + ta (9)9a2nn 21 - a = 0.95,( 9 ) = 2.262ta (n - 1) = t0.0252 1x =(

11、162 + . + 166)= 162.6710= 1(1622 + 159.52 + . + 1662 )-10162.672 = 18.43s290.95例162,从中随机抽查10人,测得身高:X N (m, s 2 )159.5,168, 160,157, 162, 163.4, 158.5,170.3,166y =f (x)求 EX = m 的0.95置信区间. 0.0250.025解SS X - ta (9),nX + ta (9)l= 18.43,-ln 22s2x = 162.67,( 9 ) = 2.262,t(n - 1) = ta20.025s =18.43 = 4.29S

12、4.29 = 159.60X - ta (9)2= 162.67 - 2.262104.29nS=162.67 + 2.262= 165.74X + t(9)a210n(159.60, 165.74) 为的0.95置信区间.0.95三、正态总体方差的区间估计设总体X N (m, s 2 ), 其中和s2 均未知,估计s2是来自X的样本.X1 , X 2 ,., Xn1. 取s的一个良好的点估计，可取21(X- X )n 2S=i =12n - 1iW=n - 1 S 2 c 2 (n - 1)2.o 2W查 ( X- X )1n21. 取s的一个良好的点估计S=22n - 1 i =1iW=n

13、 - 1 S 2 c 2 (n - 1)2.o 23.对于给定的选取 l ,l , 使得12( 0 a 1),Pl W l = 1 - a ,但这样的 l1 ,l2不唯一.12进一步要求 PW l = P W l = a122= c 2 (n - 1),= c 2(n - 1)lla2a221-1aa4.对Pl l= 1 - a212表 1得- a2作等价变形ll12n - 1 S 2o 2W查 ( X- X )1n21. 取s的一个良好的点估计S=22n - 1 i =1(n - 1)in - 1(X- X ) c1n22.S= sW=2i =12o 2i23.对于给定的=c 2 (n -

14、1),= c 2l(n - 1)la2a221-1s 1 2 11 - a =l l4.= PP12ll(n - 1)S 221(n - 1)S 22 (n - 1)S 2 s=P lal1a2 1 (n - 1)S 2 , 1 (n - 1)S 22表 1得- a2 l l2是s的2ll11 - a 置信区间. P19512n - 1 S 2o 2W查1 - a =P ln - 1 S 2 1 s 12 l=Po 212ll(n - 1)S 221aa2 (n - 1)S 22 (n - 1)S2 s= P 2l2表1得- al1= P = 1 - a(n - 1)S 2(n - 1)S 2

15、 s ll21 1 (n - 1)S 2 , 1 (n - 1)S 2是s的1 - a 置信区间.2 ll21是 1 (n - 1)S 2 1 的1 - a 置信区间.(n - 1)S2,ll12例从自动机床加工的同类零件中抽取16件,测得长度值为( 单位:mm )12.15,12.12,12.01,12.28,12.09,12.16,12.03,12.0612.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03设零件长度X N (m, s2 )的点估计.求:(1)方差 s 2( X- X )2 是 s的2= 1n解(1) S 2无偏估计量.n - 1 i

16、 =1i1(12.15 +12.12 +. +12.03)= 12.0875x =16(- 16 x 2 )= s2 = 1 2 1 16( x)16s 2- x=x215ii15i =1(i =11)= 0.00507 是 s的16=-2点估计.1612.0875x2215ii =1n 1n (n 1)(n 1)查例从自动机床加工的同类零件中抽取16件,测得长度值 为(单位: mm)12.15,12.12,12.01,12.28,12.09,12.16,12.03,12.0612.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03设零件长度X N (m,

17、 s 2 ),求方差s 2 的0.95置信区间.解的1 - a 置信区间为s211l1S 2 ,S 2 l21 S 2 c 2 ()o 21 - a =0.950.0250.025= c 2(15) = 27.488l0.95表得20.025l1l2= c 2l(15)= 6.26210.97515151515(n 1)(n 1)例从自动机床加工的同类零件中抽取16件,测得长度值 为(单位: mm)12.15,12.12,12.01,12.28,12.09,12.16,12.03,12.0612.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03设零件长度

18、 X N (m, s 2 )求方差s 2 的0.95置信区间.2 的1 - a 置信区间为解l2s1122 15S,15S lll1 = 6.262= 27.488,211 (12.15 +12.12 + . +12.03)= 12.0875x =16(s2= 1 2 1 16- 16 x2 )( x- x)16=x215ii15i =1i =1(-16 x2 )= (-16 12.08752 )= 0.07605161615s2=x2x2i =1i =1ii(n 1)(n 1)例从自动机床加工的同类零件中抽取16件,测得长度值 为(单位: mm)12.15,12.12,12.01,12.28,12.09,12.16,12.03,12.0612.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03设零件长度 X N (m, s 2