3-05 定积分在几何和经济中的应用

1、湘潭大学数学与计算科学学院,1,第五节 定积分在几何和经济中的应用,一、定积分的微元法,二、定积分在几何上的应用,三、定积分在经济中的应用举例,四、小结,湘潭大学数学与计算科学学院,2,回顾 曲边梯形求面积的问题,一、定积分的微元法,湘潭大学数学与计算科学学院,3,(3) 求和，得A的近似值,面积表示为定积分的步骤如下:,湘潭大学数学与计算科学学院,4,(4) 求极限，得A的精确值,提示,湘潭大学数学与计算科学学院,5,当所求量U 符合下列条件：,(1) U是与一个变量x的变化区间a, b有关的量；,(2) U 对于区间a, b具有可加性. 就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U

2、相应地分成许多部分量，而 U等于所有部分量之和；,就可以考虑用定积分来表达这个量U.,湘潭大学数学与计算科学学院,6,元素法的一般步骤：,1) 根据问题的具体情况，选取一个变量.,例如 x 为积分变量，并确定它的变化区间a, b;,2）设想把区间a, b分成 n个小区间，取其中任一 小区间并记为x, x+dx，求出相应于这小区间的部 分量 U的近似值.如果 U能近似地表示为a, b上 的一个连续函数在 x处的值f (x)与 dx的乘积，就把 f (x) dx称为量 U的元素且记作dU，即,湘潭大学数学与计算科学学院,7,这个方法通常叫做元素法(或微元分析法) ,3）以所求量U的元素f (x)

3、dx为被积表达式，,即为所求量U的积分表达式.,在区间a, b上作定积分，得,湘潭大学数学与计算科学学院,8,应用方向：,数学: 平面图形的面积, 体积, 函数平均值； 物理: 水压力；引力等; 经济: 已知边际求总量.,湘潭大学数学与计算科学学院,9,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.1、平面图形的面积直角坐标系情形,一 、 定积分在几何学上的应用,湘潭大学数学与计算科学学院,10,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,图形的面积.,湘潭大学数学与计算科学学院,11,解,两曲线的交点,选 为积分变量,湘潭大学数学与计算科学学院,12,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式

4、,问题：,积分变量只能选 x 吗？,湘潭大学数学与计算科学学院,13,解,两曲线的交点,选 为积分变量,方法1,湘潭大学数学与计算科学学院,14,解,两曲线的交点,方法2 选取 x 作为积分变量，,湘潭大学数学与计算科学学院,15,解 利用对称性 ,有,利用椭圆的参数方程,当 a = b 时得圆面积公式,应用定积分换元法得,湘潭大学数学与计算科学学院,16,面积元素,曲边扇形的面积,1.2 平面图形的面积极坐标系情形,湘潭大学数学与计算科学学院,17,解,由对称性知总面积 = 4倍第一象限部分面积,湘潭大学数学与计算科学学院,18,解,利用对称性知,湘潭大学数学与计算科学学院,19,旋转体就是

5、由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体,圆柱,圆锥,圆台,二 旋转体的体积,这直线叫做旋转轴,湘潭大学数学与计算科学学院,20,旋转体的体积为,一般的，如果旋转体是由连续曲线y=f(x)，直线x =a, x =b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？,取积分变量为x ,在区间a, b上任取小区间 x, x+dx，,取以dx为底的窄边 梯形绕 x 轴旋转而成的薄片的体积为体积元素:,湘潭大学数学与计算科学学院,21,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,湘潭大学数学与计算科学学院,22,例7 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,解 方法1

6、利用直角坐标方程,(利用对称性),转而成的椭球体的体积.,湘潭大学数学与计算科学学院,23,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,湘潭大学数学与计算科学学院,24,三、定积分在经济中的应用举例,例8 某公司研发推出一种新产品，预计产品价格P,随时间t,（从产品上市开始计算月数）变化的函数为,(万元/件). 在时刻 t 时, 此产品的边际,需求量 Q(t)与价格p(t)及其变化率,有关，且满足,又当产量为Q件时的边际生产成本为,（万元/件）,求该产品一年内能给公司创造的总利润,湘潭大学数学与计算科学学院,25,解 将价格函数代入边际需求函数得,在t 时

7、刻的边际生产成本为,湘潭大学数学与计算科学学院,26,=433.44(万元).,于是生产该产品在一年内的总利润为,因为,总利润=总收入-总成本，,湘潭大学数学与计算科学学院,27,例9 某企业生产某产品x单位时的边际收益为,（元/单位）,(1)求生产x单位时的总收益R(x)及平均收益,（2）求生产100个单位该产品的总收益及平均收益，,并求再生产100个单位时该产品所增加的总收益,解 (1)因为,所以总收益为:,湘潭大学数学与计算科学学院,28,平均收益为,解 (1)因为,所以总收益为:,湘潭大学数学与计算科学学院,29,(2) 生产100个单位该产品的总收益为,平均收益为,再生产100个单位该产品所增加的总收益为,湘潭大学数学与计算科学学院,30,