高中生能听懂的有关“三大几何作图难题”的探讨

1、三大尺规作图难题,1.尺规作图的由来,尺规作图是起源于古希腊(公元前800年 - 公元前146年)的数学课题。只使用圆规和没有刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。 欧几里得在几何原本 中对规则作了总结。,2.尺规作图的基本方法,（1）通过两个已知点可作一直线。（2）已知圆心和半径可作一个圆。（3）若两已知直线相交，可求其交点。（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。（5）若两已知圆相交，可求其交点。,3.尺规作图的五种基本图形,（1）作一个角等于已知角（2）平分已知角（3）作已知直线的垂直平分线（4）作一条线段等于已知线段（5）过一点作已知直线的垂线,4.三大几何

2、问题,（1）化圆为方 求作一正方形，使其面积等于一已知圆 （2）三等分角 分任意角为三等分 （3）倍立方体 求作一正方体，使其体积等于已知正方体体积的2倍。,作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。,三大几何问题（1）：化圆为方,你能把长方形化为等面积的正方形吗？,作图演示,阿基米德（约公元前287前212），古希腊伟大的数学家、力学家。后人常把阿基米德和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。,阿基米德的非尺规作图“化圆为方”,阿基米德螺线 你能想象吗？时钟上的指针在作匀速转动，假如有一只小虫子从时钟的中心，沿指针作匀速爬动，那么虫子最终走出的轨迹是怎么样的？,几何画板演示,阿基米德

3、的非尺规作图“化圆为方”,阿基米德螺线的简单画法,有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，,如图,4,，,用一根线缠在一个线轴上，,在其游离端绑上一小环，,把线轴按在一张纸上，,并在小环内套一支铅笔，,用铅笔,拉紧线，,并保持线在拉紧状态，,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，,就得到,了阿基米德螺线。,阿基米德螺线的简单画法,有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，,如图,4,，,用一根线缠在一个线轴上，,在其游离端绑上一小环，,把线轴按在一张纸上，,并在小环内套一支铅笔，,用铅笔,拉紧线，,并保持线在拉紧状态，,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，,就得到,了阿基米德螺线。,阿基米德螺线的简单画法

4、,有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，,如图,4,，,用一根线缠在一个线轴上，,在其游离端绑上一小环，,把线轴按在一张纸上，,并在小环内套一支铅笔，,用铅笔,拉紧线，,并保持线在拉紧状态，,然后在纸上画出由线轴松开的线的轨迹，,就得到,了阿基米德螺线。,阿基米德螺线的简单画法 有一种最简单的方法画出阿基米德螺线，如图，用一根线缠在一个线轴上，在其游离端绑上一小环，把线轴按在一张纸上，并在小环内套一支铅笔，用铅笔拉紧线，并保持线 在拉紧状态，然后在纸上画出 由线轴松开的线的轨迹，就得 到了阿基米德螺线。,阿基米德的非尺规作图“化圆为方”,阿基米德螺线化圆为方,阿基米德的非尺规作图“化圆为方”,达

5、芬奇式化圆为方,意大利著名艺术大师达芬奇利用巧妙方法来解决化圆为方.,达芬奇的非尺规作图“化圆为方”,是一个超越数 化圆为方能用尺规作图,“化圆为方”的本质,三大几何问题（2）：三等分角,先退一步 任意给你一个角，你能把它而等分吗？,三大几何问题（2）：三等分角,任意给你一个角，请你把它三等分。,这么简单的事， 居然是历史难题！,阿基米德的非尺规作图“三等分角”,非尺规作图“三等分角”,O,A,B,R,R,母线：3R,底面半径：R,3R,3R,B,A,V,1896年，奥布里给出圆锥妙法,非尺规作图“三等分角”,O,A,B,O,A,B,没有有理根,三大几何问题（3）：倍立方体,作一个立方体，使它

6、的体积是已知立方体的体积 的两倍,据说，公元前四百多年，在古希腊雅典流行伤寒病。万分惊惶的雅典人，向太阳神阿波罗祈祷消除灾难。太阳神指示：要消灾免祸，必须把殿前立方体香案的体积扩大两倍。 雅典人听了非常高兴，觉得这个要求很容易办到。于是就把香案的各条棱都扩大了两倍，做了个新立方体香案。不料太阳神大为震怒。原来新香案的体积并不是旧香案的两倍，而是旧香案的八倍。 那么，怎样才能把立方体香案的体积正好扩大两倍呢？如果设原来香案的棱长为1，新香案的棱长就必须是2的立方根。当时没人能解决的。于是，只好去请教久负盛名的大学者柏拉图。,非尺规作图“倍立方体”,柏拉图先画了两条互相垂直相交于O点的直线m和l，

7、在l上截取线段OC1；在m上截取线段OD2。再把两个木匠用的角尺，像下图那样放在上面，使两把角尺的直角点A、B，分别在两条直线上，并且另外两条臂分别通过C、D两点(如图)：,非尺规作图“倍立方体”,作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积 的两倍,不是有理根,从方程角度理解“尺规作图”,（1）通过两个已知点可作一直线。（2）已知圆心和半径可作一个圆。（3）若两已知直线相交，可求其交点。（4）若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。（5）若两已知圆相交，可求其交点。,一次,二次,一次,一次、二次,二次,在三大几何作图难题中，其方程式既不是一次的也不是二次的，而是三次的，或者还牵涉到超越数。因此，只用直尺和圆规是不能够推导出这类方程式或数字的。,虽然我们看到，这些古代难题用直尺和圆规画不出来，但是人们在 解答过程中创造出了很多了不起的方法和工具。同样重要的是，几个 世纪来，这些问题激发了人们对数学的兴趣。尼克美狄斯（Nicomedes) 的蚌线，阿基米德（Archimedes)的螺线，希庇亚斯（Hippias)的割圆曲线、圆锥截面、三次曲线、四次曲线和多次超越曲线等，都是从这三个难题中衍生出来的。,希腊人的兴趣并不在于尺规作图能否作出，而是在条件（规则）限制下从理论上去解决这些