事故树的定量分析.ppt

1、1,3-4-1 事故树的定量分析 顶上事件发生概率计算,2,一、基本事件的发生概率 基本事件的发生概率包括系统的单元(部件或元件)故障概率及人的失误概率等,在工程上计算时,往往用基本事件发生的频率来代替其概率值。 1. 系统的单元故障概率 (1) 可修复系统的单元故障概率。可修复系统的单元故障概率定义为:,3,式中 q -单元故障概率; -单元故障率, 是指单位时间内故障发生的频率; -单元修复率, 是指单位时间内元件修复的频率。,式中K -综合考虑温度、湿度、振动及其他条件影响的修正系数, 一般K=1-10; 0- 单元故障率的实验值,一般可根据实验或统计求得,等于元件平均故障间隔期(MTB

2、F)的倒数, 即:,4,式中,MTBF 为平均故障间隔期, 是指相邻两故障间隔期内正常工作的平均时间, 一般可按下式计算获得:,式中 n-各单元发生故障的总次数； ti-第i-1次到第i次故障间隔时间。,式中 n试验元件个数ti元件i从运行到故障发生所经历的时间。2种,5,式中,MTTR 为平均修复时间,是指系统单元出现故障,从开始维修到恢复正常工作所需的平均时间。一般,MTBFMTTR, 所以,则其故障概率为:,单元修复率一般可根据统计分析用下式求得:,6,(2) 不可维修系统的单元故障概率。不可维修系统的单元故障概率为: 式中 ,t 为元件的运行时间。如果把e-t按级数展开, 略去后面的高

3、阶无穷小, 则可近似为:,7,2. 人的失误概率人的失误是另一种基本事件, 系统运行中人的失误是导致事故发生的一个重要原因。人的失误通常是指作业者实际完成的功能与系统所要求的功能之间的偏差。人的失误概率通常是指作业者在一定条件下和规定时间内完成某项规定功能时出现偏差或失误的概率, 它表示人的失误的可能性大小, 因此, 人的失误概率也就是人的不可靠度。一般根据1-可靠度获得。,8,例如, 有研究表明,人的舒适温度一般是1922 , 当人在作业时,环境温度超过27 时, 人体失误概率大约会上升40% 。因此, 还需要用修正系数 K 加以修正 , 从而得到作业者单个动作 的失误概率为:q = k (

4、1-R)式中 k - 修正系数,k = abcde;a - 作业时间系数;b - 操作频率系数;c - 危险状况系数;d - 心理、生理条件系数;e - 环境条件系数。a 、 b 、 c 、 d 、 e 的取值见表3-13 。,9,二、顶事件的发生概率 事故树定量分析, 是在已知基本事件发生概率的前提条件下, 定量地计算出在一定时间内发生事故的可能性大小。如果事故树中不含有重复的或相同的基本事件, 各基本事件又都是相互独立的, 顶事件发生概率可根据事故树的结构, 用下列公式求得。用 “与门” 连接的顶事件的发生概率为:,10,用 “或门” 连接的顶事件的发生概率为: 式中 qi - 第 i 个

5、基本事件的发生概率( i=1,2, , n)。,如图 3-15所示的事故树。已知各基本事件的发生概率q1 =q2 =q3 =0.1, 顶事件的发生概率为:,11,P (T) = q11-(1- q2)(1- q3) = 0.11-(1-0.1)(1-0.1) = 0.019但当事故树中含有重复出现的基本事件时, 或基本事件可能在几个最小割集中重复出现时, 最小割集之间是相交的, 这时, 应按以下几种方法计算。,12,设某事故树有 n 个基本事件, 这 n 个基本事件两种状态的组合数为 2n 个。根据事故树模型的结构分析可知, 所谓顶事件的发生概率,是指结构函数(x)=1的概率。因此,顶事件的发

6、生概率P(T)可用下式定义:,式中 P -基本事件状态组合序号;p(X)-第 p 种组合的结构函数值。(1或 0);qi - 第 i 个基本事件的发生概率;Yi - 第 i 个基本事件的状态值(1或0)。,1. 状态枚举法,13,从式 (3-17) 可看出: 在 n 个基本事件两种状态的所有组合中,只有当p(X) =1 时,该组合才对顶事件的发生概率产生影响。所以在用该式计算时,只需考虑p(X) =1的所有状态组合。首先列出基本事件的状态值表, 根据事故树的结构求得结构函数p(X) 值,最后求出使p(X) =1的各基本事件对应状态的概率积的代数和,即为顶事件的发生概率。,14, 例 3-7 试

7、用式(3-17) 计算图 3-15 所示事故树的顶事件发生概率。解: 基本事件的状态组合及顶事件的状态值见表3-14, 并列出每一种状态所对应的qp(q)和qp,因而得到:,表 3-14 事故树 P(T) 计算表,15,该方法规律性强, 适于编制程序上机计算, 可用来计算较复杂系统事故发生概率。但当 n 值较大时, 计算中要涉及2n个状态组合, 并需求出相应顶事件的状态, 因而计算工作量很大, 花费时间较长。,16,2 直接分步算法,该方法适用于事故树的规模不大，又没有重复的基本事件，无须布尔代数化简时使用。 其计算方法是：从底部的逻辑门连接的事件算起，逐次向上推移，直至计算出顶事件T的发生概

8、率。,17,直接分布算法的的规则如下： 1）与门连接的事件，计算概率积,qA与门事件的概率 qi与门连接的第i个基本事件的发生概率 n 与门连接的输入事件数,18,2）或门连接的事件，计算概率和,qB或门事件的概率 qi或门连接的第i个基本事件的发生概率 n 或门连接的输入事件数,19,【例3-8】用直接分步算法计算右图所示事故树顶事件的发生概率。各基本事件下的数字即为其发生概率,20,解：第一步，求A2的概率，其为或门连接，有,第二步，求A1的概率，其为与门连接，有,21,第三步，顶上事件发生的概率，或门连接，有,事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时, 顶事件与各最小割集用或门连接，每

9、个最小割集与其包含的基本事件用与门连接。 如果各最小割集间没有重复的基本事件，则可按照直接分步算法计算，先计算各个最小割集内各基本事件的概率积，再计算各最小割集的概率和，从而求得顶事件发生概率，即：,22,3 最小割集法,k最小割集的个数 kr第r个最小割集，r是最小割集的序号,23,【例3-9】若某事故树有如下几个最小割集，求其顶上事件发生的概率。,解：由根据式3-18，顶上事件发生的概率为：,24,如果各个最小割集中彼此有重复事件，则式3-18不成立，如某事故树有三个最小割集：,则其顶上事件发生的概率为各最小割集的概率和，即,25,由于,而,所以,同理,26,所以，顶上事件的发生概率为：,

10、由【例3-9】可以看出，如果事故树的各最小割集中彼此有重复事件时，其顶上事件的发生概率可以用如下公司计算：,4 最小径集法,用最小径集作事故树的等效图时，顶事件与各最小径集用与门连接，每个最小径集与其包含的事件用或门连接。因此，若各最小径集中彼此没有重复事件时，则可先求最小径集内各基本事件的概率和，再求各最小径集的概率积，从而求顶上事件的发生概率，即：,27,P最小径集的个数 Pr第r个最小径集，r是最小径集的序号,28,【例3-10】若某事故树有如下几个最小径集，求其顶上事件发生的概率。,解：根据式3-20，其顶上事件发生的概率为：,29,如果事故树的各最小径集中彼此有重复事件，则式3-20

11、不成立。与最小割集中有重复事件时的情况相似，须将式3-20 展开，消去可能出现的重复因子。通过理论推证，可用下式计算顶事件发生概率：,30,例题解答【例 3-11】 以图3-12事故树为例, 试用最小割集法、最小径集法计算顶事件的发生概率。,设各基本事件的发生概率为:q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04; q5=0.05,31,解: 该事故树有三个最小割集:E1=X1, X2, X3,; E2=X1, X4; E3=X3, X5事故树有四个最小径集:P1=X1, X3,; P2=X1, X5; P3=X3, X4; P3=X2, X4, X5,32,由式(3-

12、19)得顶事件的发生概率:P(T)=q1q2q3+ q1q4+ q3q5-q1q2q3q4- q1q2q3q5- q1q3q4q5+ q1q2q4q3q5代人各基本事件的发生概率得 P(T)=0.001904872。,33,由式 (3-21) 得顶事件的发生概率:P(T)=1-(1-q1)(1-q3)+(1-q1)(1-q5)+(1-q3)(1- q4)+(1-q2)(1-q4)(1-q5)+(1-q1)(1-q3)(1-q5)+(1-q1)(1-q3)(1-q4)+(1-q1)(1-q2)(1-q4)(1-q5) +(1-q2)(1-q3)(1-q4)(1-q5)-(1-q1)(1-q2)(

13、1-q3)(1-q4)(1-q5)=0.001904872,34,在上述三种顶事件发生概率的精确算法中, 后两种相对较简单。 一般来说, 事故树的最小割集数目较少时，用最小割集法；最小径集数目较少时，用最小径集法。 注意：根据最小割集计算顶上事件发生概率的两个公式，计算精度分别高于最小径集的两个公式。因此，实际应用中，应尽量采用最小割集法,35,按式(3-19) 和(3-21)计算顶事件的发生概率，工作量很大，且当事故树中的最小割(径)集较多时会发生组合爆炸问题。但在许多工程问题中, 这种精确计算是不必要的, 这是因为统计得到的基本数据往往是不很精确的,因此, 用基本事件的数据计算顶事件发生概

14、率值时精确计算没有实际意义。所以, 实际计算中多采用近似算法。,三、顶事件发生概率的近似算法,36,1 用代数积、和代替概率积、和的近似算法,该近似法，就是将事故树中逻辑门代表的逻辑运算看做是代数运算。,【例 3-12】用近似算法求右图事故树顶事件的发生概率，并与精确值比较。各事件的发生概率为q1 =0.01; q2=0.02; q3=0.03; q4=0.04,37,1）顶事件发生概率的近似计算 事故树的函数结构式为,用代数积、和代替逻辑积、和，顶事件发生的近似概率为,38,2）顶事件发生概率的精确计算 由事故树的函数结构式，化简求得2个最小割集为,由式3-19知，顶事件发生概率是精确值为,

15、39,3）顶事件发生概率近似计算的误差 顶事件发生概率近似计算结果与精确值的相对误差为：,可以看出，按照该近似方法计算顶事件发生概率，其相对误差相当小。,40,则得到用最小割集求顶事件发生概率的逼近公式, 即：,2.最小割集逼近法:,在式 (3-19) 中, 设:,(3-22),41,式 (3-22)中的F1，F1-F2，F1-F2+F3，等 , 依此给出了顶事件发生概率P(T)的上限和下限, 可根据需要求出任意精确度的概率上、下限。用最小割集逼近法求解 【例 3-11】。由式 (3-22) 可得 :,42,则有 : P(T)1.90610-3 P(T)1.9048610-3 P(T)1.90

16、487210-3从中可取任意近似区间。近似计算结果与精确计算结果的相对误差列于表3-15 中。,43,表 3-15 顶事件发生概率近似计算及相对误差,44,由表可知, 当以F1作为顶事件发生概率时, 误差只有0.059%；以F1 -F2作为顶事件发生概率时,误差仅有0.0006299% 。实际应用中, 以F1 ( 称作首项近似法 ) 或F1-F2作为顶事件发生概率的近似值, 就可达到基本精度要求。,45,与最小割集法相似, 利用最小径集也可以求得顶事件发生概率的上、下限。在式(3-21) 中 , 设：,则 P(T) 1-S1 P(T) 1-S1+S2 P(T) 1-S1+S2- S3 (3-23),3.最小径集逼近法。,46,式 (3-23) 中的1-S1, 1-S1+S2 , 1-S1+S2- S3 , 等, 依次给出了顶事件发生概率的上、下限。从理论上讲, 式(3-22) 和式(3-23) 的上、下限数列都是单调无限收敛于P(T)的,但是在实际应用中, 因基本事件的发生概