傅立叶变换及其应用.ppt

1、傅立叶变换及其应用,为什么要使用傅立叶变换,频谱分析是信号处理的核心 没学微积分就不了解极限的概念，而没学傅立叶变换可能就不清楚世界上还有所谓的“频谱” 傅立叶变换对于问题的简化特别有用，使我们可以从另一个角度处理问题 FFT的出现，使科学分析的许多方面大为改观,背景知识,1、线性系统的基本概念 2、二维卷积 3、傅立叶变换的实质,1. 线性系统,线性系统理论是数字信号分析与处理（当然包括数字图象处理）的理论基础 线性系统可用传递函数来刻画，将其看作黑箱（Black Box），线性系统的输入信号和输出信号之间的关系，在时域可用卷积运算来表达，在频域可直接用乘积来确定：,1.1 线性系统的输入输

2、出关系,时域用卷积运算来表达 频域用乘积表达,2. 二维卷积,对于二维信号，二维卷积定义为,3.傅立叶变换的实质,简单的说，一个波形的傅立叶变换的实质是：把这个波形分解成许多不同频率正弦波之和，且这些正弦波加起来可成为原来的波形。 方程表示为：,t为时间，f为频率。s(t)是被分解的波形，S(f)是其傅立叶变换。,作变换,进行傅立叶变换,t,分解,-T/2,T/2,做一张显示各正弦波振幅 和频率的图,傅立叶变换,频率,傅立叶变换,“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法很相似。 如减速机故

3、障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。 在数字图像处理中，周期性的噪声会在傅立叶变换后的频谱图像中产生尖峰信号，由此可快速取得图像中的噪声信息，便于进一步处理。 傅立叶变换应用很广，以上仅仅是其在信号处理系统中的基本应用。,傅立叶变换,1.傅立叶积分： 若对参量f的每一个值，积分都是存在的，则该方程就定义了h(t)的傅立叶变换H(f)。 t代表时间，f代表频率。则该变换实现了将以时间为变量的函数h(t)转换为以频率为变量的函数H(f)，且二者所包含的信息是一致的。（这即为使人们可以从另一个角度研究一个函数的根本依据）,傅立叶变

4、换是频率变量f的一个复函数： R(f)是傅立叶变换的实部，I(f)是傅立叶变换的虚部。 |H(f)|称作h(t)的振幅谱或者傅立叶谱，它由 给出。 (f)是傅立叶变换的相角，由 给出。,2. 傅立叶逆变换 逆变换定义为： 该公式使我们可以从一个时间函数的傅立叶变换确定这个时间函数。 （即一个时间函数和其频谱互为傅立叶变换，二者被称为“傅立叶变换对”）,3 傅立叶积分的存在条件 具体的数学证明意义不大，故在此省略。 在工程应用中，只需要知道：对于已经存在的、实际生活中已经有的时间序列（大部分为物理现象），其傅立叶变换和傅立叶逆变换都存在。,傅立叶变换的性质,1. 线性性 很重要，表明其在所有线性

5、系统中都可用。说明了其适用的广泛性。 2.对称性 3.时间尺度和频率尺度的改变 4.实、虚函数和奇、偶函数的特性 5.傅立叶级数是傅立叶积分的一种特例 6.注意：时间一般是实的，而频率一般是复的。即逆变换时要对实部、虚部均进行变换。,重要性：,1.傅立叶变换是线性算子 2.傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 3.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 4. 卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 5.离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机

6、快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT). 是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。,DFT和FFT的基础：波形抽样和差值,1.所借助工具：卷积和差值（包括线性差值、抛物线差值等，用来提高精度） 2.主要定理：Shannon采样定理。 3.原理：把函数x(t)在0,T区间上表示为：,Ak称为k次谐波的复振幅， Ak是其幅值。k是其相位，ak和bk分别是第k次正弦波的余弦系数和正弦系数。,上式其实很简单，就是把一个时间函数用傅立叶级数的方式表示出来。 所谓频谱分析，就是求出各次谐波对应的Ak。 在采样时，

7、要分为两种情况： （1）若x(t)本身在t上并不连续，而是基于给定的时间序列函数x (0),x (1), x (2), , x(N-1)，则稍加修改即可直接进行计算。,（2）x(t)是在t上的连续函数： 取t为很小的时间间隔，令T=N t，x(t)在tn=n t时的采样值为xn。则可以用各个xn代替上式中的x(t)，再用求和代替积分，就实现了对Ak的离散化。这也是DFT和FFT运算的基础。如下所示：,注意：DFT和FFT的计算基础是基于AkF的。而AkF只是简单求和，相对于Ak必然存在误差。,DFT,1.目的：将连续傅立叶变换进行改造，使其适用于机器运算。 2.DFT可以理解为是连续傅立叶变换

8、的特殊情况。即给定的h(t)在t上并不是连续的，而是基于给定的时间序列函数h(0)、 h(1)、 h(2)、 h(N-1)，（或者是以t为间隔对其抽样，最后求和 ）计算其傅立叶积分。,定义： 对于一个物理数据f(x),其定义域为-XX时全为零。则有和式：,可分解为实部： 和虚部：,DFT的性质,1. 线性性 同样在所有线性系统中都可用。 2.对称性 3.时间尺度和频率尺度的改变 4.实、虚函数和奇、偶函数的特性 5.注意其相关基础是离散卷积，连续卷积与离散卷积有所不同，若DFT使用连续卷积（再离散化）会增加误差。,FFT（Fast Fourier Transformation）,所谓FFT，只不过是计算离散傅立叶变换的一种特殊方法，目的是使计算DFT的速度加快。所以在算法方面，其意义并不大。 但是需要注意的是，正是FFT的出现（出现于1965年，由Cooley-Tukey首次发表，IBM的Garwin首次实现计算机程序） 又称为Cooley-Tukey算法。,FFT的优点,对于给定时间序列f(0),f(1),f(2),f(N-1),对其进行傅立叶变换:,可知，计算每一个F(k)都需要进行N次乘法和N-1次加法。若把全部F(k)都计算出来，需要进行N2次乘法和N(N-1)次加法，运算量很大。用FFT可以大大减少计算量，以“