高等数学试卷：2001级高数(下)期中试卷(A)卷答案_第1页
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1、2001级高等数学(下)期中试卷 (A)卷答案一、填空题（每小题4分，共20分.）1设为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为。2若，则。3的收敛域是。4的麦克劳林展开式是 。5设满足关系式，则。 二、单项选择题（每小题4分，共20分.）6.级数（常数）（C ） （A）发散； （B）条件收敛；（C）绝对收敛；（D）敛散性与有关。7. 设线性无关的函数都是微分方程的解， 则此微分方程的通解为（ C ）（为任意常数）。 （A）； （B）； （C）； （D）。8微分方程的一个特解的形式为（ D ） （A）； （B）；（C）； （D）。 9当时幂级数条件收敛，则级数（ B ） （A）条件收敛；

2、 （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛不能确定。 10. 若级数收敛,则级数（ D ） （A）一定绝对收敛； （B）一定发散；（C）一定条件收敛； （D）可能收敛，可能发散。三求下列微分方程的通解（每小题5分，共10分.） 11解：特征方程为， ， 方程的通解为。 12. 。解：， 令，则有。 ， 方程的通解为。四、判别下列数项级数的敛散性（每小题5分，共10分.） 13解： ，收敛。 14 解：设， ， 数列从开始递减， 又， ， 交错级数收敛。五、求下列微分方程的特解（每小题6分，共12分.） 15求微分方程满足初始条件，的特解。（6分）解：令，方程化为，即。 解得，由和，得。 于是

3、， 由，得， 由，得，从而， 故所求微分方程的解为。16求微分方程满足条件的特解。解：， 令，则，代入上式得 ，即， 积分得，即， 由，得，从而， 所求微分方程的特解为。六、解答题（每小题7分，共28分） 17. 将函数展成的幂级数，并指出其收敛域。解：， ， ， ， 。18设二阶可微函数满足方程，求。 解：，。 两边对求导，得，且。 两边再对求导，得， 故得微分方程初值问题 设，则有. 特征方程为，. 对应的齐次方程的通解为. 设非齐次方程的一个特解为，代入方程解得， ， 从而得非齐次方程的通解：。 把条件，代入通解，得 ，故。19求幂级数的收敛域与和函数，并求之和。解：设，不论取何值，级数均收敛，故收敛域为， 设和函数为， 对积分，得 ， 再对两边求导，得, ， .20. 已知（为正整数

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