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高等数学竞赛模拟试题（三）参考答案 一.填空题（每小题4分，共40分）1当，时，函数当时关于的无穷小阶数最高。2设，则。3设是由方程组确定的隐函数，则。4设为的原函数，且，若当时，则=。5设是参数，则。6设，则 。7设，则=。8。9设，则=。10圆的圆心坐标为，半径为。二、（每小题6分，共24分）1计算解：，2设为正常数，证明 证：令，即，3试比较积分与的大小，并证明你得出的结论。解：对后一个积分作代换：，于是，得4设函数有连续的二阶偏导数，且，求与。解：，联立得。三、（7分）设函数在上二阶可导，求证存在使得。证：设，则，在上可导，使，在上可导，使四、（7分）判断级数的敛散性，其中。解：，即，当时，级数发散；当时，级数收敛。故当时，原级数发散；当时，原级数收敛。五、（8分）一点先向正东移动米，然后左拐弯移动米（其中,如此不断重复左拐弯，使得后一段移动的距离为前一段的倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？解：建立坐标系，原点为起始点，轴正向单位向量为，轴正向单位向量为，则质点所在位置向量为六、（7分）设在上具有连续导数，证明 证：则 ，结论成立。七（7分）设函数在区间上具有二阶

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