常微分方程课件：4_2-2常系数非齐次线性方程的解法

1、4.2-2 常系数非齐次线性方程的解法 本节讨论aj(t)= aj(1 j n)时的方程 Lx=f(t) (1) 的解法. 方法（一）常数变易法此法适用于各种形式的f(t)，但计算繁琐复杂，且需要积分 方法（二）当f(t)=A(t)cost+B(t)sint et 时，可用比较系数法（待定系数法） 方法（三）对（二）中f(t)的或其它特殊形式的f(t)可用微分算子法(定义逆算子并推导逆算子的性质).能方便地书写推导过程,方法（四）Laplace变换法.f(t)（原函数）应满足|f(t)|Met, M ,是正数需知道 有关的像函数.此法简便,工程计算中常用. 以下介绍方法（二） 类型当f(t)=

2、(b0tm+b1tm-1+bm-1t+bm)et 时,方程(1)有形如 的特解,其中k为特征根的重数(不是特征根时,k=0).,1)=0时, f(t)=b0tm+b1tm-1+bm-1t+bm. =0不是特征根,即F(0)0,所以an0,取k=0以 代入方程(1)得 因为an0,所以Bi可逐个从(3)中唯一确定., =0是k重特征根,则 此时,方程(1)成为 作 变换,则(4)化为 对方程(5), an-k0,所以=0不是特征根,根据已经讨论过的情形知(5)有形如 的特解.,因而方程(4)有特解 满足 这表明 是t的m+k次多项式,其中t的次数k-1的项带任意常数.取这些任意常数为0,得原方程

3、有特解 2)0时采用4.2.2节中的方法:作变换 则方程(1)化为,Ai为常数,并且方程(1)的特征根对应于方程(6)的0特征根,重数也相同.因此,利用上述结果得 不是(1)的特征根时,(6)有特解 从而(1)有特解,是(1)的k重特征根时,(6)有特解 从而(1)有特解 例 求下列各方程的通解:,类型 f(t)=A(t)cost+B(t)sintet 时,其中A(t),B(t)是t的多项式,最高次数是m,则方程(1)有形如 的特解,其中k为特征根+i的重数,P(t), Q(t)是待定的m次多项式.,注意到类型的讨论中,可以为复数.因此,这里我们设法将写成类型的指数形式. 根据非齐线性方程的性

4、质,两方程Lx=f1(t), Lx=f2(t)的解的和是方程(1)的解. 又注意到: 所以,当x(t)是Lx=f1(t)的解时, 是Lx=f2(t),的解. 于是,利用类型的结果,得方程(1)有以下形式的解,其中D(t)为t的m次多项式,而P(t)=2ReD(t), Q(t)=2ImD(t). 例 4 解方程x+4x+4x=cos2t. 解法(一)特征根是1,2=-2,所以设所求特解为 代入原方程得 因此,通解是,解法(二)考虑辅助方程x+4x+4x=e2it. 因 2i不是特征根,所以可设特解为 代入辅助方程并消去e2it得 因此,原方程的特解是,例 解方程: 5. x-x=tetcost. 6. 解 5.方法(一) +i=1+i不是特征根,所以设特解是 方法(二)考虑辅助方程x-x=te(1+i)t. 1+i不是特征根,所以设特解是,代入辅助方程,