2 4常用的连续分布

1、2.4常用的连续分布一、均匀分布 1,a x bf ( x ) = b - aX 其他(b - a)20,a + by = 1b-af ( x)EX =DX =,122oocc + la当 c, c + l a, b 时,b 1b - a lb - ac+lc+l=dx =Pc X c + l=f ( x)dxcc 1,x bb - a其他0,1,求 X的分布函数：x0dt = 0,x b0dt-aby =1bf ( x)1-aoooxxxaabby = F ( x)二、指数分布el x定义 如果随量X le-lx ,x 0x 0X f ( x) = 0,则称 X服从 参数为的 指数分布, 记

2、为 X e(l )+f ( x ) dx =0+0-+0e-lxdxl0 dx=l x)( -lx )d (e- 1= 1 - lim= 1+0e( -lx )( -lx )= e0el x+x+可以证明, 指数分布的数学期望和方差分别为:ly = f ( x)o1 ,10EX =DX =ll 2le-lx ,x 0x 0时xxx0xxF ( x) =-lf (t )dt =0 dt +le-ltdt = -ted(-lt)-00x00= 1 - e-lx= e-lt= -e-ltxxx 0时0 dt = 0,f (t )dt = -x=F ( x) =P X xx 0时 1 - e-lx ,

3、-指数分布的分布函数为： 11 - e-lx ,x 0x 0F ( x) = 00,例某元件的寿命X 服从指数分布, 平均使用寿命为1000小时 求该元件使用1000小时没坏的概率.,le-l x ,x 0EX = 1 = 1000解X f ( x) = l x 0x0,l = 111000e-1000 ,x 0 1000X f ( x) = x 00,1+P X 1000= - xf ( x)dx = edx10001000 10001000- xx+- x1000+- x=-1= e= - ed1000 = ee1000 1000100010001000 l x例某元件的寿命X 服从指数分

4、布, 平均使用寿命为1000小时 求该元件使用1000小时没坏的概率.,EX = 1 = 1000le-l x ,x 0x 0解X f ( x) = l0, l = 1已求得指数分布的分布函数为1000 1 - e,x 0x 0F ( x) = 0,P X 1000= 1 - P X 1000= 1 - F (1000)1000-= 1 -(1 - e-= e1)1000- x1000le-l x ,1 - e-lx ,x 0x 0x 0x 0X f ( x) = F ( x) = 0,0,指数分布满足:P X a + bX a= P X bb 0 )( a 0,证 右= P X b= 1 -

5、 P X b= 1 - F (b)= 1 -(1 - e- lb ) = e- lb左=P X a + bX a = P X a + b且 X aP X a= P X a + b =e-l(a+b)= e-lb=右P X ae-la三、正态分布( x-m )22s 21-e如果随量X 的密度为j( x) =2p s且s 0, 则称X服从参数为记为X N (m,s 2 )其中和为常数,和的正态分布, 1( x-m )2-psj( x) = 1e212s 2e0= j (m )2psj (m ) = 12ps2ps是j( x的)最大值.j( x的)图象关于- (-t )21x = m 对称.j(

6、x) 的图象以 x 轴为渐近线.ej (m - t ) =2s 2= j (m + t )2ps2( x- m )1-e2s 2lim j( x) = lim= 02psxx( x-m )22s 21-ej( x) =2p s可以证明, j( x) 的图象在点 m s处有拐点. 1越大, m - s 和m + s与越接近,越小,2ps 曲线越陡峭.1越小, m - s 和m + s 与距离越远,越大,2ps 1 2ps曲线越平缓.12psm + sm - sm + sm - s- ( x- m )21即 XX N (m,s 2 ), j( x) =2s 2e2ps可以证明, 正态分布的期望和方

7、差分别为EX = mDX = s 2当 m = 0, s= 1 时，正态分布1N ( 0,1 ) 称为标准正态分布.y = j( x)02p标准正态分布的密度函数记为-11- x21e, 标准正态分布的期望为0, 方差为1j( x) =202pj0 ( x)1. 正态分布的分布函数2- ( x-m )1对于正态分布2s 2X j( x) =e2ps 其分布函数记为F( x)( t - m )2- 1exx2s 2F( x) =X xPj=(t )dtdt2ps -标准正态分布的分布函数记为 F0 ( x)xy = 0 ( x)F0 ( x) = P X x 12pt 221xx-0 (t )d

8、t = j=edt2p-x2. 标准正态分布表-1t 22( x) = P X xxxF= j0 (t )dt = edt02p-标准正态分布具有性质：F0 ( 0 ) = 0.5F0 (- x) =1 - F0 ( x )F0 ( x) = 1 - F0 ( - x )(1)(2)1y = ( x)2p- xx -0.41= 1 -P X -0.41= 1 - F0 ( - 0.41)= F0 ( 0.41) = 0.6591P X - 1 2= P -2 X - 1 2= P -1 X 3 = P X 3 - P X -1 = F0 ( 3 ) -F0 ( - 1)= F0 ( 3 ) -

9、 1 - F0 (1)= 0.99865 - 1 -0.8413 12py = ( x)已知例X N ( 0, 1)求 aP X a = 0.701 0.5,F0 ( a ) = P X a= 0.701解a 0,a =0.53求 cP X c = 0.2981 0.5,c 0F0 ( - c ) =1 - F0 ( c )= 1 - 0.2981= 0.70191y = ( x)2p-c = 0.53c = -0.53ca例X N ( 0, 1)(1)P X 2.35= P X 2.35= F0 ( 2.35 )= 0.99061P X -1.25= F0 ( - 1.25 )= 1 - F

10、0 ( 1.25 )= 1 - 0.8944= 0.1056(2)(3)P 1.55 = P -1.55 X 1.55 X= P X 1.55 - P X -1.55= F0 ( 1.55 ) -F0 ( - 1.55 )= F0 ( 1.55 ) - 1 - F0 ( 1.55 ) = 2F0 ( 1.55 ) - 1= 2 0.93943 -1 0, 有P a = 2F0 ( a ) - 1X证P a= P -a X 0P b = 2F0 ( b ) - 1 = 0.9242X( b ) = 1.9242 = 0.9621b = 1.78F023. 一般正态分布 与标准正态分布的关系定理2

11、.6设随量 X N (m, s 2 )Y= aX + b,其中 a, b 为常数，且 a 0, 则 Y N (am + b, a2s 2 )EY =E (aX + b)= aEX+b = am + bDY =D (aX + b) = D(aX )= a2 DX= a2s 2定理2.6设随量 X N (m, s 2 )Y= aX + b,其中 a, b 为常数，且a 0,则Y N (am + b, a2s 2 )定理2.6设随量 X N (m, s 2 )Y = aX + b,其中 a, b 为常数，且 a 0, 则 Y N (am + b,a2s 2 ) =X - ,推论1设随量 X N (m

12、,s 2 ),s则 N ( 0,1 )1 X - m =ssEx = E ( X - )= 1 E ( X - ) = 1 ( EX - ) = 0ssDx =D (X - )= 1D (X - ) = 1DX = 1s 2s 2X - ,推论1设随量 X N (m,s 2 ), =s则 N ( 0,1 )推论3为F( x),设随量X N (m,s 2 )X 的分布函数标准正态分布的 分布函数为F0 ( x),则对任一实数x , 有x - F( x) = F0 F( x) = P X x = P X- x - 证= P x - x - = F0 求P X 0.8,P X -0.4,例X N (

13、1,16)P X - 1 20.8 - 1= F(-0.05)P X 0.8= F( 0.8 ) = F解 (1)0 04= 1 - F0 ( 0.05 ) = 1 - 0.5199= 0.4801(2) P X -0.4 = 1 -P X -0.4= 1 - F(-0.4)-0.4 - 1 = 1 - F(-0.35)= F(0.35)= 1 - F0 004= 0.6368求P X 0.8,P X -0.4,例X N (1,16)P X - 1 2(3) P X - 1 2= P -2 X - 1 2 解= P -1 X 3 = F(3) - F(-1)-1 - 1 = F3 - 1 -

14、F(-0.5)(0.5) -F= F0 0 0044= F0 (0.5) - 1 - F0 (0.5) = 2F0 (0.5) - 1= 2 0.6915-1= 0.3830设 X N (1.5,求常数a ,使得P X - a a= 0.2388例22 )解由已知条件，a 0P X - a a= P X - a a 或 X - a 2a 或X 2a + P X a= 0.2388例22 )解由已知条件，a 0P X - a a= 1 - F( 2a ) +F( 0 )0 - 1.5 2a - 1.5 +F= 1 - F0 0 22= 1 -F0 (a - 0.75) +F0 (-0.75)=

15、1 -F0 (a - 0.75) +1 - F0 ( 0.75 )= 2 - F0 (a - 0.75)-0.7734 = 0.2388F0 (a - 0.75) = 2 - 0.7734 -0.2388= 0.9878a = 3a - 0.75 = 2.25,查表得, (P281)求 PX - k ,例 设X N (m,s 2 )其中 k为正常数.解 PX - k = P -k X - k = P - k X + k= F( + k ) -F( - k ) + k - -F - k- = F( k ) - F( - k )= F0 0 00= F0 ( k ) - 1 - F0 ( k ) = 2F0 ( k ) - 1查表得2F0 ( 3 ) - 1= 2 0.99865-1= 0.9973当 k = 时3 ,即 PX - 3 = 0.9973, 即P - 3 X + 3 = 0.9973求 PX - k ,例设 X N (m,s 2 )其中 k为正常数PX - k = 2F0 ( k ) - 1当 k = 时3 ,P - 3 X + 3= 0.9973随量 X 几乎总是落在区间( - 3, + 3 )内,因此, 在实际应用中,常把( - 3, + 3 )看成 X的实际取值区间,这称为 “