信号分析与处理——频域分析.ppt

1、第二节 连续信号的频域分析,周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析 傅立叶变换的性质,傅立叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用三角级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”书中,傅立叶的两个最主要的贡献,周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 周期信号的傅里叶级数展开 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号的傅里叶变换,周期为T0的周期信号x(t)，如果满足狄里赫利条件，都可以分解成三角函数的线性组合：,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,（一）周期信号的傅立叶级数展开式,称为

2、周期信号的傅立叶级数展开式,称为傅立叶级数系数。,(2-47),(2-47),直流系数,余弦分量系数,正弦分量系数,傅立叶级数系数，可以通过下面公式求取：,将式(2-47)中的同频率项合并，可以得到三角傅立叶级数的另一种形式,(2-47),其中：,(2-53),(2-47),(2-51),上面两式物理意义明确： 表明一个周期信号可以分解为直流分量和一系列余弦或正弦形式的交流分量,但是运算不方便,？,需要另一种运算方便的信号展开方法,(2-51),利用欧拉公式,考虑 的奇偶性，上式可以写为：,由此，得到周期信号的傅立叶级数展开的另一种形式：,指数形式的傅立叶级数展开,其中：,称为：周期信号的傅里

3、叶级数复指数系数,可以通过下式求得：,(2-53),(2-54),(2-54)推导：P27,例1. 求下图所示的周期矩形脉冲信号的复指数形式傅立叶级数表示式。,解：如图所示的矩形脉冲信号在一个周期内可表示为 求复傅立叶系数,这种形式的函数，在信号理论中经常遇到，称为取样函数，记作Sa(x)。,它是偶函数。 当 时， Sa(x)=1为最大值， 随着 的增大而总趋势衰减 为过零点，每2起伏一次。,因此，有 周期矩形脉冲信号复指数形式傅立叶级数展开式为,2、周期信号的频谱,上式物理含义：周期信号可以分解为一系列余弦分量信号之和：,所有的余弦分量的频率为原信号频率的整数倍,可以分别将它们称为基波信号（

4、n=1,也称为一次谐波信号）, 二次谐波信号（n=2）,以及三次、四次谐波信号,它们的振幅分别为对应的 ，相位为,对于一个周期信号，只要掌握了信号的基频 、各分量谐波的幅度 和相位 ，就等于掌握了该信号的所有特征,都包含在傅里叶级数复指数系数 当中,这就意味着，对于一个周期信号，只要掌握了信号的 ，就等于掌握了该信号的所有特征,考虑复指数形式的傅里叶级数展开式的系数 的定义式：,频谱函数的定义： 指数形式的傅立叶级数展开式中的系数 称为周期信号的频谱函数. 幅度频谱、相位频谱： 由于 为复数，包含了幅度 和相位 ， 通常把幅度 随频率的分布称为幅度频谱。相位 随频率的分布称为相位频谱。 频谱图

5、: 以频率为横座标，各谐波分量的幅度或相位为纵坐标，画出幅频和相频的变化规律，称为信号的频谱图。,例. 求下图所示的周期矩形脉冲信号的频谱图,已经求得：,可见 为实数，可以直接画出 随频率的分布如下图：,也可以把幅频 和相频 分别画成两个图， 得到该信号的幅度频谱图和相位频谱图，如下：,由图可以看出周期矩形脉冲信号的频谱的特点：,离散性：该信号的频谱是由离散的谱线构成的，谱线的长度代表各频率分量的幅度。连接各谱线顶点的曲线为频谱的包络线，它反映了各频率分量的幅度随频率变化的情况。 谐波性：周期矩形脉冲信号只包含直流分量、基波分量和各次谐波分量。谱线以基波频率 为间隔等距离分布 收敛性：谱线幅度

6、整体上具有减小的趋势。,以上三个特点不是周期矩形脉冲信号特有的， 是任何满足狄里赫利条件的周期信号的频谱所共同具有的,1、周期矩形脉冲信号的脉冲宽度 、周期 与频谱的关系,当 不变，改变,T0,T0,当 不变，改变,2.信号的带宽,较高幅值的谱线都集中在第一个过零点范围，表明信号的能量绝大部分由该频率范围的各谐波分量决定，通常把这个频率范围称为周期矩形脉冲信号的频带宽度或带宽，用符号 表示。,信号的带宽是信号频率特性中的重要指标，它具有实际意义。：,首先，如上所述，信号在其带宽内集中了大部分的能量，因此在允许一定失真的条件下，只需传送带宽内的各频率分量就行了； 其次，当信号通过某一系统时，要求

7、系统的带宽与信号的带宽匹配，否则，若系统的带宽小于信号的带宽，信号主要的谐波分量和能量就不能顺利地通过系统。,由上可知，脉冲宽度越小，带宽越大，频带内所含的分量越多,为什么下雨打雷，收音机里有噪声，电视机画面有雪花点？,例3 求出复指数信号 的频谱,该信号的傅立叶级数展开式的复指数系数为：,仅在 处有幅度为1的分量,其幅频图和相频图为：,例2-6 分别求出 和 的频谱。,对于余弦信号 ,有,对于正弦信号 ,有,详细计算过程，自己看,其幅频图和相频图为：,负频率的概念: 频率作为周期信号变化快慢的一个度量，它只能是正值，即实际上只存在正频率。但在复指数形式的傅立叶级数表示法中会出现负频率，这只是

8、数学上表示的需要，正、负频率的两个分量合起来才表示一个实际存在的正弦谐波分量,周期信号的功率分配,周期信号的平均功率 将 代入， 有,表明周期信号在时域的平均功率等于信号所包含的直流、基波及各次谐波的平均功率之和，反映了周期信号的平均功率对离散频率的分配关系，称为功率信号的帕斯瓦尔公式。,二、非周期信号的频谱分析,当周期信号的周期T0无限大时,就演变成了非周期信号,反过来考虑，非周期信号可以看做是周期T0为无穷大的周期信号,1、从傅立叶级数到傅立叶变换,从这一思想出发，可以在周期信号频谱分析的基础上研究非周期信号的频谱分析,考虑如图2-30（a）所示的一个一般的非周期信号,从 出发，对其进行周

9、期延拓构造一个周期信号,对于周期信号 ，可以展开成指数形式的傅立叶级数,其中，傅立叶级数系数为：,考虑,并且，由于在区间 内，,为什么要乘以T0？,消除1/T0的影响，以免讨论无穷小量,当,再把 换个形式表示为 ，得到：,(2-58),(2-59),再考虑傅里叶级数展开式,当 时：,得到：,(2-60),(2-59),(2-60),式(2-61)和式(2-62)构成了傅立叶变换对，通常表示成,或：,傅里叶正变换,傅里叶反变换,的物理意义,是一个频谱密度函数的概念,反映的是分量信号 在无穷小频率区间 上的频谱分布密度,想象水面上的一滴油,2、常见非奇异信号的频谱,矩形脉冲信号 单边指数信号 双边

10、指数信号 双边奇指数信号,（1）矩形脉冲信号,t,0,t,0,（2）单边指数信号,t,0,0,0,相频,幅频,（3）双边指数信号,0,t,0,幅频 相频,（4）双边奇指数信号,幅频,相频,3、奇异信号的频谱,单位冲激信号 单位直流信号 符号函数信号 单位阶跃信号,（1）单位冲激信号,1,t,0,0,根据 的定义，以及冲激函数 的特性，有,即:,该信号不满足绝对可积条件，可以把它看作双边指数信号 当 的极限。,（2）单位直流信号,0,t,故有：,表明 是 的冲激函数，其强度为,所以有 ，即,（3）符号函数信号,+1,-1,可以把符号函数信号看成是双边奇指数信号当a趋于0时的极限 。,+1,-1,

11、符号函数的频谱函数就是双边奇指数信号频谱函数的极限情况,即：,u(t),0,t,0,（4）单位阶跃信号,把它视为单边指数信号当a趋于0的时极限,可以求得：,4、周期信号的傅立叶变换,（1）复指数信号,考虑 的傅立叶变换为,设 的傅立叶变换为 ，则上式为,令 ，则由直流信号的傅立叶变换式，有,于是得 的傅立叶变换 为,即：,欧拉公式：,应用复指数信号的傅立叶变换 ，得：,（2）正弦信号,（3）余弦信号,欧拉公式：,应用复指数信号的傅立叶变换 ，得：,频谱图,图2-46,（4）一般周期信号,一般周期信号可以展开成指数形式的傅立叶级数,对上式取傅立叶变换，有,已知 的傅立叶变换为：,所以，得：,（2-81）,（2-81）,（2-8