定积分概念ppt11.ppt

1、1 定积分的概念 2 牛顿-莱布尼兹公式 3 定积分的性质 4 微积分学基本定理 5 定积分的计算,第九章 定积分,第九章 定积分,1 定积分概念,一.引例,曲边梯形面积,曲边梯形:,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形,y=f(x),a,b,0,x,y,怎样求面积呢？,1 面积问题,二 问题的提出,我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。,思想方法（想象圆的面积的求法）,（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条,在区间a,b中任取若

2、干分点：,把曲边梯形的底a,b分成n个小区间：,过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为,x,y,0,y=f(x),（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形,x,y,0,y=f(x),（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。,把n个小矩形的面积相加得和式,它就是曲边梯,形面积A的近似值，即,x,y,0,y=f(x),（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。,小区间长度最大值趋近于零，即| | 0（| |表示,这些小区间的长度最大者）时，和式 的,分割越细， 就越接近于

3、曲边梯形的面积A，当,极限就是A，即,可见，曲边梯形的面积是一和式的极限,x,y,0,y=f(x),用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决问题的基本思路：变“曲”为“直”,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,例2 路程问题,把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,对于匀速运动，我们有公式 路程=速度X时间,解决变速运动的路程的基本思路,（1）分割,（3）作和,（4）取极限,路程的精确值,(2)

4、 取点,三、定积分的定义,定义： 设函数y=f(x)在区间a,b上有定义。在区间 a,b中任取分点,将区间a,b分成n个小区间 ，其长度为,如果不论对区间a,b采取何种分法及 如何选取，当 n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和 式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积， 并称此极限值为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作,即,（1）,注：,利用极限的“ ”的说法，将定积分的 定义精确表述如下：,（5）,3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有,4规定：,注：,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四 定积分的几何意义,几何意义,举例,2,-2,-2,2,0,A,A,

5、-A,A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积,a,b,a,b,y=f(x)0,y=f(x)0,x,x,y,y,0,0,A,A,2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图,3.结论：,几何意义,a,b,x,y,y=f(x),0,应用,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：

6、,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,例2：,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。,利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：,1）,2）.,1）,2）.,练习：,试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。,0,y,x,y=x2,1,2,0,x,y=f(x),y

7、=g(x),a,b,y,例1 利用定义计算定积分,解,(1) 分割,（2）取点,（3）求和,（4）求极限,例2,面积值为圆的面积的, 定积分的实质 ：和式的极限, 定积分的思想方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,小结与作业,小结与作业,作业： P204 1, 2 (1) (4) .,定积分的定义是一种构造性定义， 通过四步骤归结为一个和式的极限.,定积分的几何意义及简单应用,第九章 定积分,2 牛顿-莱布尼兹公式,物体所经过的路程显然有两种表达方式:,第一种:,第二种:,定义,定理9.9,证明:,定理9.10,分析:,前提,只须,证,定理9.10,由积分中值定理得,推论,（1）,（2

8、）,(i) 解决了原函数的存在性问题,(ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系,(iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据,比较变速直线运动中,共同点:,定理9.11,分析:,前提条件,证明:,例1:,解 :,例2 已知,求,解,例3:,解 :,1,3,(1,2),1, 变上限定积分的概念;,P229: 1, 2, 3 (1)(2) .,2, 微积分学基本定理;,3, 牛顿-莱布尼兹公式.,作业:,第九章 定积分,3 定积分的性质,对定积分的补充规定:,注意 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,性质2,注意：

9、不论 的相对位置如何, 上式总成立.,性质3,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,推论1,证,（1）,证,性质4,性质5,证,推论2,（2）,证,（此性质说明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于估计积分值的大致范围）,性质6,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,令,于是由性质5的推论1,第九章 定积分,4 微积极分学基本定理,定理 3（微积分基本定理）,证,令,令,牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,则,则,微积分基本公式表明：,(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.,例1 求

10、,例2 求,解,例3 计算,解,例4 设,求,解,例5 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,证,例8 设 , 求 .,解,解,解,由（1）（2）解之得,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四 小结(sumary),牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学（不定积分与定积分）之间的关系,4.上述大部分例题都是定积分所特有的而不 定积分所没有的.,五 思考与判断题,（1）,（2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原 函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（ ）,第九章 定积分,5 定积分的计算,一 问题的提出,我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定

11、积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？,在一定条件下，可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.,牛顿-莱布尼兹公式：,求出f(x)的原函数F(x),问:求f(x)的原函数（不定积分）学过了哪些方法？,关键：,复习引入,定理,二 定积分的换元法(Formula for Integration by Substitution),换元公式,证,说明,（2）,（3）,例1 计算,解,令,原式,例2 计算,解,令,此题也可简要记法如下：,例3 计算,解,例4 计算,解,令,证,奇函数,例6 计算,解,原式,-,-,+,=,1,1,2,2,1,1,2,dx,x,x,偶函数,证,（1）设,（2）设,例8 计算,解,三 定积分的分部积分法,(Formula for Integration by Parts),例9 计算,解,令,则,例10,计算,解,去掉绝对值时注意分积分限,例11 计算,解,注 本题是一个集凑微分法、根式换元法、 分布积分法的综合题。,例12 设 求,解,例13 证明定积分公式,证,设,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,于是,几个