2026中考数学高频考点一轮复习：图形的旋转（含解析）

中考数学一轮复习图形的旋转一．选择题（共10小题）1．（2025春•昌平区）福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2025春•扬州）如图，△ABC顺时针旋转到△A'B'C'的位置，则旋转中心及旋转角分别是（）A．点A′，∠C′A′B′ B．点O，∠AOA′ C．点A′，∠A′OB D．点O，∠AOC3．（2025春•邗江区）如图△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′，边AB′与BC交于点D，∠B′＝28°，则∠ADC的度数是（）A．78° B．70° C．85° D．80°4．（2025•富锦市二模）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Pʹ的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）5．（2025春•青秀区）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．BC的中点 B．FC的中点 C．点C D．点D6．（2025春•苏州）如图，△ABC中，∠B＝25°，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，BA延长线交DE于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．∠ACB＝∠ACE B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE7．（2025春•吴兴区）如图，已知四边形纸片ABCD，E，F，G，H是四条边上的中点，连结EG，分别过点H，F作HI⊥EG于点I，FJ⊥EG于点J，沿EG，HI，FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN（①沿BD方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180°）．若EJ＝5cm，JG＝2cm，FJ＝3cm，则四边形ILMN的周长是（）A．24cm B．26cm C．(22+25)cm D．8．（2025春•睢宁县）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（）A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．旋转、平移9．（2025•西湖区三模）如图，正方形ABCD中，边长为1，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE、DE，若∠CED＝90°，则△BCE的面积是（）A．45 B．12 C．15 10．（2025春•泰州）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E．当点C，D，E恰好在同一条直线上时，设∠BCD＝α，则旋转角等于（）A．12α B．23α C．α D二．填空题（共5小题）11．（2025春•普陀区）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝42°，将△ABC绕点B旋转得△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，线段BE交边AC于点F，连接CE、AD，如果△CEF是等腰三角形，那么∠ADE的度数是．12．（2025春•杨浦区）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A旋转α（0＜α＜180）度后，点B所对应的点D在边BC上，如果AD平分∠BAC，那么α＝度．13．（2025春•建邺区）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为．14．（2025•越秀区三模）如图，在△ABC中，AC=1+3，∠BAC＝45°，∠ACB＝60°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段BC中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是，最小值是15．（2025春•柴桑区）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠D＝∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）当旋转角为时，DE与△ABC的边垂直．三．解答题（共5小题）16．（2025•东胜区二模）【问题情境】如图，在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB＝AE＝6，AD＝AG＝8．【初步探究】（1）如图1，连接BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中，求BEDG【问题解决】（2）如图2，连接BD，当点E恰好落在BD上，延长FE与交BC于点M，连接AM，交BD于点H．①求证：AM垂直平分BE；②如图3，取GD中点N，连接AN，HN，求线段HN的长．17．（2025•永川区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，连接AD，E为边BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF．（1）如图1，当E在线段BD上时，若AB=42，DE=2（2）如图2，当E在线段CD上时（点E不与C，D重合），连接CF交AD于点G，求证：BE＝2AG；（3）在（2）的条件下，将△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，连接C′D，C′F，C′F与BC交于点P，当C′D取得最小值时，直接写出PFPC'18．（2025春•宜兴市）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转°，才能使OB落在OC上；（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'=13∠DOB'时，∠（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，AB所在直线与CD所在直线平行或垂直？19．（2025春•青岛）如图，在Rt△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PD⊥AB，交AC于点D，点D关于AB的对称点为E，连接PE，BE，PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：（1）BP的长为cm；（用含t的代数式表示）（2）当点B在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BE∥AC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）设点P到BC的距离为y（cm），求y与t之间的关系式．20．（2025春•蓝田县）【思路梳理】（1）如图1，已知△ABC为等边三角形，点D是边AC上的动点，连接BD，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为E．若BE⊥BC，CD＝2，求线段BE的长；【操作发现】（2）如图2，学校劳动实践基地里，有一块等边三角形的小菜园ABC，同学们开展“创意种植分区”活动，小萱打算利用对称，设计特色种植区：在边AC上选一个点D，连接BD，将△BCD沿着BD对称，这就划分出一个“对称特色区”△BDE，点C的对应点为点E，连接AE，在点E处修建一个储水池，AD与BE相交于点N，小萱在AN边合适位置修建工具站F，连接EF，现要沿AN，ED修建两条运输通道，沿ND修建一条灌溉水渠，实际施工测量时，发现DE所在直线与BC垂直，且∠EFN＝30°，现要判断线段AN，ED，ND之间的数量关系，请你帮忙判断并说明理由．

中考数学一轮复习图形的旋转参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•昌平区）福字纹样以“福”字为核心，常通过变形、组合等手法，融入祥云、蝙蝠、牡丹等吉祥元素，造型丰富多变，寓意福气盈门、幸福美满，是传统吉祥文化的生动载体．下列福字纹样是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（2025春•扬州）如图，△ABC顺时针旋转到△A'B'C'的位置，则旋转中心及旋转角分别是（）A．点A′，∠C′A′B′ B．点O，∠AOA′ C．点A′，∠A′OB D．点O，∠AOC【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案．【解答】解：由题给图形得：△ABC绕着点O顺时针旋转到△A′B′C′的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和∠AOA′．故选：B．【点评】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是关键．3．（2025春•邗江区）如图△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′，边AB′与BC交于点D，∠B′＝28°，则∠ADC的度数是（）A．78° B．70° C．85° D．80°【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】A【分析】先根据旋转的性质得到∠B＝∠B′＝28°，∠BAB′＝50°，然后根据三角形外角性质计算∠ADC的度数．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转50°得到△AB′C′，∴∠B＝∠B′＝28°，∠BAB′＝50°，∴∠ADC＝∠B+∠BAB′＝28°+50°＝78°．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．4．（2025•富锦市二模）在平面直角坐标系中，把点P（﹣2，3）绕原点O顺时针旋转90°，所得到的对应点Pʹ的坐标为（）A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称．【答案】A【分析】首先过P作PC⊥y轴于C，过P′作P′D⊥y轴于D，然后证明△PC0≌△P′DO，可得P′D＝PC＝2，OD＝C0＝3，进而可得答案．【解答】解：过P作PC⊥y轴于C，过P′作P′D⊥y轴于D．∵∠POP′＝90°，∠COD＝90°，∴∠POC+∠P′OC＝90°，∠P′OD+∠P′OC＝90°，∴∠POC＝∠P′OD，∵∠PCO＝∠P′DO＝90°，OP＝OP′，在△PCO和△P′DO中，∠PCO=∠P'DO∠POC=∠P'OD∴△PC0≌△P′DO（AAS），∴P′D＝PC＝2，OD＝C0＝3，∴P′的坐标是（3，2）．故选：A．【点评】此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．5．（2025春•青秀区）如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（）A．BC的中点 B．FC的中点 C．点C D．点D【考点】中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】B【分析】根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段BE中点或线段FC中点，进而得出答案．【解答】解：∵此图形是中心对称图形，∴对称中心是线段FC的中点．故选：B．【点评】此题主要考查了对称中心的确定方法，根据其定义得出是解题关键．6．（2025春•苏州）如图，△ABC中，∠B＝25°，将△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，BA延长线交DE于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．∠ACB＝∠ACE B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE【考点】旋转的性质；平行线的判定．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】D【分析】BF交CE于O点，如图，根据旋转的性质得到∠ACB＝∠DCE，则可对A选项进行判断；根据旋转的性质得到∠BCE＝65°，∠E＝∠B＝25°，由于∠ACE不能确定为25°，则不能判定AC∥DE，从而可对B选项进行判断；根据旋转的性质得到AB＝DE，则可对C选项进行判断；根据三角形内角和定理可计算出∠BOC＝90°，从而可对D选项进行判断．【解答】解：BF交CE于O点，如图，∵△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，所以A选项不符合题意；∠BCE＝65°，∠E＝∠B＝25°，∵∠ACE不能确定为25°，∴不能判定AC∥DE，所以B选项不符合题意；∵△ABC绕点C顺时针旋转65°后得到△DEC，∴AB＝DE，所以C选项不符合题意；∵∠B＝25°，∠BCO＝65°，∴∠BOC＝180°﹣25°﹣65°＝90°，∴BF⊥CE，所以D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的判定．7．（2025春•吴兴区）如图，已知四边形纸片ABCD，E，F，G，H是四条边上的中点，连结EG，分别过点H，F作HI⊥EG于点I，FJ⊥EG于点J，沿EG，HI，FJ将四边形纸片ABCD剪成四个小四边形纸片，记为①，②，③，④，将这四张纸片恰好可以无重叠、无缝隙地拼成一个新的四边形纸片ILMN（①沿BD方向平移，④和②分别绕点H和点G旋转180°）．若EJ＝5cm，JG＝2cm，FJ＝3cm，则四边形ILMN的周长是（）A．24cm B．26cm C．(22+25)cm D．【考点】旋转的性质；勾股定理；中点四边形；图形的剪拼；平移的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】由题可知FJ＝PM＝PL＝3cm，JG＝JL＝2cm，MQ＝EJ＝5cm，JI＝xcm，则NQ＝EI＝EJ﹣JI＝（5﹣x）cm，据此求解即可．【解答】解：如图，由题可知FJ＝PM＝PL＝3cm，JG＝JL＝2cm，MQ＝EJ＝5cm，设JI＝xcm，则EI＝EJ﹣JI＝（5﹣x）cm，∴NQ＝EI＝（5﹣x）cm，∴矩形周长为＝MN+ML＝LI+NI＝5﹣x+5+6+4+x+6＝26cm；故选：B．【点评】本题主要考查了旋转和平移的性质以及矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．8．（2025春•睢宁县）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（）A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．旋转、平移【考点】几何变换的类型．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【答案】D【分析】根据轴对称，平移，旋转的性质一一判断即可．【解答】解：图形甲可以通过旋转，平移得到图形乙．故选：D．【点评】本题考查几何变换的类型，解题的关键是掌握轴对称，平移，旋转的性质．9．（2025•西湖区三模）如图，正方形ABCD中，边长为1，将边BC绕点B逆时针旋转至BE，连接CE、DE，若∠CED＝90°，则△BCE的面积是（）A．45 B．12 C．15 【考点】旋转的性质；三角形的面积；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】作BF⊥CE于点F交CD于点L，作FH⊥BC于点H，由正方形的性质得CD＝BC＝1，∠BCD＝90°，由由旋转得BE＝BC，则CF＝EF，而∠CED＝90°，可证明BL∥DE，则CLDL=CFEF=1，所以CL＝DL=12CD=12BC，推导出∠CFH＝∠LBC，则CHFH=tan∠CFH＝tan∠LBC=FHBH=CLBC=12，所以FH＝2CH，BH＝2FH＝4CH，由BC＝5CH＝1，求得CH=1【解答】解：作BF⊥CE于点F交CD于点L，作FH⊥BC于点H，则∠BFE＝∠BFC＝∠BHF＝∠FHC＝90°，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴CD＝BC＝1，∠BCD＝90°，由旋转得BE＝BC，∴CF＝EF，∵∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，∴BL∥DE，∴CLDL=∴CL＝DL=12CD=∵∠CFH＝∠LBC＝90°﹣∠BCF，∴CHFH=tan∠CFH＝tan∠LBC∴FH＝2CH，BH＝2FH，∴BH＝4CH，∵BC＝BH+CH＝4CH+CH＝5CH＝1，∴CH=1∴S△BCF＝S△BEF=12×∴S△BCE＝2S△BCF＝2×1故选：C．【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．10．（2025春•泰州）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E．当点C，D，E恰好在同一条直线上时，设∠BCD＝α，则旋转角等于（）A．12α B．23α C．α D【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】D【分析】先根据旋转的性质得到AE＝AC，∠ACB＝∠E，∠EAC等于旋转角，再根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ACE，接着利用∠ACB+∠ACE＝α得到∠E+∠ACE＝α，然后根据三角形内角和定理表示出∠EAC即可．【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，C，D，E恰好在同一条直线上，∴AE＝AC，∠ACB＝∠E，∠EAC等于旋转角，∴∠E＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠E，∵∠BCD＝α，即∠ACB+∠ACE＝α，∴∠E+∠ACE＝α，∴∠EAC＝180°﹣（∠E+∠ACE）＝180°﹣α，即旋转角为180°﹣α．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．二．填空题（共5小题）11．（2025春•普陀区）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠C＝42°，将△ABC绕点B旋转得△DBE，点A、C的对应点分别是点D、E，线段BE交边AC于点F，连接CE、AD，如果△CEF是等腰三角形，那么∠ADE的度数是29°或43°．【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】29°或43°．【分析】由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下∠BEC（∠BDA）的度数，从而可得∠ADE的度数．【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转得△DBE，∠BAC＝45°，∴∠BDE＝45°，AB＝AD，CB＝EB，∠ABD＝∠DBE﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠EBC，∴∠BDA=∠BAD=180°-∠ABD由题意可得：CE＝CF或CE＝EF，当CE＝CF时，设∠ECF＝α，∴∠CFE＝∠BEC＝∠BCE＝42°+α，∴由三角形的内角和可得：∠CFE+∠BEC+∠ECF＝42°+α+42°+α+α＝180°，∴α＝32°，∴∠BDA＝∠BEC＝42°+α＝74°，∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDE＝74°﹣45°＝29°，当EC＝EF时，设∠ECF＝β，则∠EFC＝∠ECF＝β，∴∠BEC＝∠BCE＝42°+β，∴∠BEC+∠CFE+∠ECF＝42°+β+β+β＝180°，∴β＝46°，∴∠BDA＝∠BEC＝42°+β＝88°，∴∠ADE＝∠BDA﹣∠BDE＝43°．故答案为：29°或43°．【点评】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．12．（2025春•杨浦区）如图，在△ABC中，∠C＝30°，将△ABC绕点A旋转α（0＜α＜180）度后，点B所对应的点D在边BC上，如果AD平分∠BAC，那么α＝40度．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】40．【分析】如图，AB＝AD，∠BAD＝α，根据角平分线的定义可得∠CAD＝∠BAD＝α，根据三角形的外角性质可得∠ADB＝30°+α，即得∠B＝∠ADB＝30°+α，然后根据三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：如图，根据题意可得：AB＝AD，∠BAD＝α，由题意可得：∠CAD＝∠BAD＝α，∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝30°+α，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝30°+α，∵∠C+∠CAB+∠B＝180°，∴30°+2α+30°+α＝180°，∴α＝40°；故答案为：40．【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．13．（2025春•建邺区）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为72【考点】旋转的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；矩形的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力．【答案】72【分析】以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，可证四边形MHNB是矩形，可证MH＝BN，由“SAS”可证△FEH≌△GEC，可得FH＝GC，当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，即可求解．【解答】解：以EC为边作等边三角形ECH，过点H作HN⊥BC于N，HM⊥AB于M，又∵∠ABC＝90°，∴MH＝BN，∵BE＝2，∴EC＝3，由题意可得：EC=EH=3，∴BN=7∵△FGE是等边三角形，∴FE＝GE，∠FEG＝60°＝∠HEC，∴∠FEH＝∠GEC，在△FEH和△GEC中，FE=GE∠FEH=∠GEC∴△FEH≌△GEC（SAS），∴FH＝GC，∴当FH⊥AB时，FH有最小值，即GC有最小值，∴点F与点M重合时，FH=HM=7故答案为：72【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．14．（2025•越秀区三模）如图，在△ABC中，AC=1+3，∠BAC＝45°，∠ACB＝60°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1，点E为线段BC中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1的最大值是6+1，最小值是3-1【考点】旋转的性质；作图﹣旋转变换；解直角三角形；勾股定理的应用．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】6+1；3-【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，设AD＝BD＝x，通过勾股定理即可求得AD=BD=3，BC=2CD=2，AB=2AD=6，然后分情况讨论：当旋转至A1C1正好和BC垂直时，且P为A1C1与BC交点时，有最小值；当△ABC绕点B按逆时针方向旋转至A1，B【解答】解：如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，在Rt△ABD中∵∠ADB＝90°，∠A＝45°，∴AD＝BD，设AD＝BD＝x，在Rt△BDC中，∵∠BDC＝90°，BD＝x，∠C＝60°，∴CD=3∵AD+CD＝AC，∴x+3解得x=3∴AD=BD=3∴AB=2AD=6，EC当旋转至A1C1正好和BC垂直时，且P为A1C1与BC交点时，有最小值：∴C1P1＝1，∴BP1=2EP1＝BP1﹣BE=3-当P点与A点重合时，EP有最大值，∴△ABC绕点B按逆时针方向旋转至A1，B，C共线时，EP1有最大值，如图3：此时，EP1＝AB+BE=6+故答案为：6+1；3-【点评】本题考查旋转变换，解直角三角形，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考常考题型．15．（2025春•柴桑区）已知两块相同的三角板如图摆放，点B，C，E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠D＝∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转角度α（0°＜α＜180°）当旋转角为60°或120°或150°时，DE与△ABC的边垂直．【考点】旋转的性质；余角和补角．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【答案】60°或120°或150°．【分析】分三种情况画图分别进行解答．【解答】解：如图，当DE⊥AB时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，∵∠ABC＝∠DCE＝90°，∴AB⊥BC，∵BC∥DE，∴∠BCG＝∠DEC＝60°，即此时旋转角为60°；如图，当DE⊥AC时，∴∠ACE＝90°﹣∠E＝30°，∠A'CB'＝∠ACB＝30°，∴∠BCB'＝180°﹣∠A'CE﹣∠A'CB'＝120°，即此时旋转角为120°；当BC⊥DE时，∴∠B'CD＝90°﹣∠D＝60°，∴∠BCB'＝∠BCD+∠DCB'＝150°，即此时旋转角为150°；综上所述：当旋转角为60°或120°或150°时，DE与△ABC的边垂直．故答案为：60°或120°或150°．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，解题关键是利用分类讨论思想解答．三．解答题（共5小题）16．（2025•东胜区二模）【问题情境】如图，在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中AB＝AE＝6，AD＝AG＝8．【初步探究】（1）如图1，连接BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中，求BEDG【问题解决】（2）如图2，连接BD，当点E恰好落在BD上，延长FE与交BC于点M，连接AM，交BD于点H．①求证：AM垂直平分BE；②如图3，取GD中点N，连接AN，HN，求线段HN的长．【考点】几何变换综合题．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】【初步探究】（1）34【问题解决】（2）①证明见解析；②8．【分析】【初步探究】（1）证明△BAE∽△DAG，得出BEDG【问题解决】（2）①证明Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），得出∠BAM＝∠EAM，则可得出答案；②求出DH和DN，由勾股定理可得出答案．【解答】解：【初步探究】（1）∵两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG，AB＝AE＝6，AD＝AG＝8，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAD﹣∠EAD＝∠EAG﹣∠EAD，即∠BAE＝∠DAG，∴ABAD∴△BAE∽△DAG，∴BEDG【问题解决】（2）①在矩形ABCD和矩形AEFG中，∠ABC＝∠AEF＝90°，∴∠AEM＝90°，在Rt△ABM和Rt△AEM中，AM=AMAE=AE∴Rt△ABM≌Rt△AEM（HL），∴∠BAM＝∠EAM，∵AB＝AE，∴AM⊥BE，BH＝EH=1∴AM垂直平分BE；②由【初步探究】知，∠ABD＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝90°，∵AB＝6，AD＝8．∴DB=AB∵AM垂直平分BE，∴AH=AB⋅AD∴BH=A∴DH＝BD﹣BH＝10-185=32由【初步探究】知，BEDG∴DG=4∵GD的中点为N，∴DN=24∴HN=DH【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2025•永川区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC的中点，连接AD，E为边BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF．（1）如图1，当E在线段BD上时，若AB=42，DE=2（2）如图2，当E在线段CD上时（点E不与C，D重合），连接CF交AD于点G，求证：BE＝2AG；（3）在（2）的条件下，将△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，连接C′D，C′F，C′F与BC交于点P，当C′D取得最小值时，直接写出PFPC'【考点】几何变换综合题．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）6；（2）证明过程详见解答；（3）2．【分析】（1）可证明△BAF≌△CAE，从而得出BF＝CE，进一步得出结果；（2）作FH⊥AD于H，可证明△AFH≌△EAD，从而AH＝DE，FH＝AD，进而证明△FGH≌△CGD，从而GH＝AH，进一步得出结论；（3）不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AC=2，可得出AC′＝AC=2，∠C′AE＝∠CAE，从而点C′在以A为圆心，AC为半径的圆上，CD＝AC′﹣AD=2-1，从而得出点A、D‘C′共线时，C′D最小，根据AE平分∠CAD，得出DECE=ADAC=22，从而求得CE，根据△BAF≌△CAE得出BF＝CE＝2-2，∠【解答】（1）解：∵AB＝AC＝42，∠BAC＝90°，∴BC=2AB＝8∵DE＝2，∴CE＝BC﹣DE＝6，∵AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF，∴AE＝AF，∠EAF＝90°，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAF＝∠CAE，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE＝6；（2）证明：如图1，作FH⊥AD于H，∴∠AHF＝∠FHG＝90°，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAC＝90°，∴AD⊥BC，AD＝BD＝CD=1∴∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠AHF，∠DAE+∠AED＝90°，由（1）知，∠EAF＝90°，AF＝AE，∴∠DAE+∠FAH＝90°，∴∠FAH＝∠AED，∴△AFH≌△EAD（AAS），∴AH＝DE，FH＝AD，∴FH＝CD，∵∠ADE＝∠AHG＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FGH≌△CGD（AAS），∴GH＝AH，设DE＝AH＝a，GH＝AH＝b，∴BD＝AD＝AH+GH+DG＝2+2b，∴BE＝2（a+b）＝2AG；（3）解：如图2，不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AC=2∵△CAE沿AE所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△C′AE，∴AC′＝AC=2，∠C′AE＝∠CAE∴点C′在以A为圆心，AC为半径的圆上，CD＝AC′﹣AD=2∴点A、D‘C′共线时，C′D最小，∴点C′在AD的延长线上，’∴AE平分∠CAD，∴DECE∴CE=22+1由（1）知，△BAF≌△CAE，∴BF＝CE＝2-2，∠ABF＝∠ACB＝45∴∠FBC＝∠ABF+∠ABC＝90°，∴∠FBC＝∠ADC，∴△PBF∽△PDC′，∴PFPC'【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．18．（2025春•宜兴市）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．（1）如图1，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，把△OAB以O为中心顺时针旋转，至少旋转75°，才能使OB落在OC上；（2）如图2，如果把图1所示的△OAB以O为中心顺时针旋转得到△OA′B′，当∠COA'=13∠DOB'时，∠（3）如图3，两个三角尺的直角边OA、OD摆放在同一直线上，另一条直角边OB、OC也在同一条直线上，如果把△OAB以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，AB所在直线与CD所在直线平行或垂直？【考点】作图﹣旋转变换；平行线的判定．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】（1）75；（2）112.5°；（3）旋转的角度为105°或285°时，AB所在直线与CD所在直线平行．：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直．【分析】（1）由图可知，当△OAB以O为中心顺时针旋转过∠BOC，即可得到OB与OC重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可；（2）设∠AOA＝∠BOB＝α，分别表示出∠COA，∠DOB，然后根据∠COA=1（3）平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可．【解答】（1）由图可知，当△OAB以O为中心顺时针旋转过∠BOC，即可得到OB与OC重合，由三角板的性质可知：∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∴∠BOC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴至少旋转75°，OB与OC重合．故答案为：75；（2）由旋转的性质得∠AOA′＝∠BOB′，设∠AOA′＝∠BOB′＝α，则∠COA′＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，∠DOB'＝180°﹣45°﹣α＝135°﹣α，∵∠COA′=13∴120°﹣α=13（135°﹣∴α＝112.5°，∴∠AOA′＝α＝112.5°；（3）当△A′OB′在点O的右侧时，如图：∵A′B′∥CD，∴∠D＝∠A′FO＝60°，∵∠B'＝45°，∴∠EOB'＝60°﹣45°＝15°，∴∠BOB′＝90°+15°＝105°；当△A′OB′在点O的左侧时，如图：∵A′B′∥CD，∴∠D＝∠A′FO＝60°，∴∠A′OF＝180°﹣∠A′FO﹣∠A′＝75°，∴旋转的角度＝360°﹣75°＝285°，综上所述：旋转的角度为105°或285°时，AB所在直线与CD所在直线平行．当△A′OB′在点O的上侧时，如图，延长A′B′交CD于点E，∵A′B′⊥CD，∴∠CEF＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠C＝60°，∴∠BOB′＝∠CFE﹣∠A′B′O＝15°，当△AOB在点O的下侧时，如图，延长BA，CD，相交于点E，∵A′B′⊥CD，∴∠DEA′＝90°，∵∠CDO＝60°，∠OA′B'＝45°，∴∠EDO＝120°，∠OA′E＝135°，∴∠DOA′＝360°﹣90°﹣120°﹣135°＝15°，∴∠BOB'＝∠COD+∠DOA′+∠A′OB'＝195°，综上所述：旋转的角度为15°或195°时，AB所在直线与CD所在直线垂直．【点评】本题考查了旋转的性质，垂线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，以及四边形内角和，分类讨论是解（3）的关键．19．（2025春•青岛）如图，在Rt△ABC中，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；动点Q同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PD⊥AB，交AC于点D，点D关于AB的对称点为E，连接PE，BE，PQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题：（1）BP的长为（10﹣2t）cm；（用含t的代数式表示）（2）当点B在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BE∥AC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）设点P到BC的距离为y（cm），求y与t之间的关系式．【考点】几何变换综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）（10﹣2t）；（2）t＝2.5；（3）存在，t＝2.5；（4）y=-85t【分析】（1）根据线段的和差列式即可；（2）根据线段垂直平分线的性质；列方程即可得到结论；（3）根据平行线的性质得到∠E＝∠ADE，∠A＝∠PBE，根据线段垂直平分线的性质得到PD＝PE，根据全等三角形的性质即可得到结论；（4）过P作PH⊥BC于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝1