第六章第5讲　数列的综合应用.ppt

1、第5讲数列的综合应用,考点梳理,1等比数列与等差数列比较表,(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意 (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么 (3)求解求出该问题的数学解 (4)还原将所求结果还原到原实际问题中,2. 解答数列应用题的步骤,(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差 (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比 (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的

2、递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系,3数列应用题常见模型,一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性) (2)数列与不等式结合时需注意放缩 (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想,【助学微博】,1若数列an为等比数列，则下面四个命题：,考点自测,答案3,2(2012南京一模)若数列an满足：lg an11lg an(nN*)，a1a2a310，则lg(a4a5a6)的值为_,由等比数

3、列的定义，可知a4a5a6a1q3a2q3a3q3， 所以lg(a4a5a6)lg q3(a1a2a3)lg q3 lg(a1a2a3)4.故填4. 答案4,4(2012苏锡常镇四市调研(一)等差数列an中，已知a815，a913，则a12的取值范围是_ 答案(，7,解析由题意知，an35(n1)d.对数列an中的任意两项ar，as其和为aras3535(rs2)d，设at35(t1)d，则35(rs2)d(t1)d，即35(trs1)d.因为r，s，t，dN*，所以35是d的整数倍，即d所有可能取值为1,3,9,27,81,243，和为364. 答案364,5(2012盐城第一学期摸底考试)

4、设等差数列an满足：公差dN*，anN*，且an中任意两项之和也是该数列中的一项若a135，则d的所有可能取值之和为_,【例1】 已知函数f(x)log2x logx2(0x1)，数列an满足 f(2an)2n (nN*),考向一数列与函数的综合应用,(1)求数列an的通项公式； (2)判断数列an的单调性 审题视点(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an1的大小来判断数列an的单调性,方法总结 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力,(1)设a为常数，求证：an是等比数列；,【训练1】 已知f(x)logax(a0且

5、a1)，设f(a1)，f(a2)，f(an)(nN)是首项为4，公差为2的等差数列,【例2】 (2012广东卷)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列 (1)求a1的值； (2)求数列an的通项公式；,考向二数列与不等式的综合应用,(2)解由题设条件可知，2Snan12n11， n2时，2Sn1an2n1. ，得 2(SnSn1)an1an2n12n， 即an13an2n(n2)，an12n13(an2n)， an2n是以3为公比的等比数列， an2n(a12)3n13n，即an3n2n(n1) 又a11满足上式，an3n2n.,方法总结

6、解决此类问题要抓住一个中心函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理,【训练2】 已知单调递增的等比数列an满足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中项 (1)求数列an的通项公式；,所以Sn(12222n2n)， 2Sn122223(n1)2nn2n1， 两式相减， 得Sn222232nn2n12n12n2n1. 要使Snn2n150，即2n1250，即2n152. 易知：当n4时，2n1253252，当n5时，2n1266452.故使Snn2

7、n150成立的正整数n的最小值为5.,【例3】 (2011湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式；,考向三与等差、等比数列有关的应用性问题,方法总结 解等差、等比数列应用解题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为教学中的等差、等比问题，使关系明朗化，标准化，然后用等差、等比数列知识求解,(1)设n年内(本年度为第一年)的总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，

8、写出an和bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？,考向四数列的综合应用,又S2n1a1(a2a3)(a4a5)(a2na2n1)a1b1b2bn2n22n2. 则由(S2n110)c2n1，得4n24n164n， 记f(x)4x4x24x16(x2)， 则g(x)f(x)4xln 48x4， g(x)(ln 4)24x80(x2)， g(x)在2，)上单调递增， g(x)g(2)f(2)0，即f(x)0，且f(1)0， 仅存在唯一的n3，使得(S2n110)c2n1成立,方法总结 数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化

9、归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法等要提高将陌生问题转化、化归为熟知问题的能力,(1)求数列an的通项公式an和数列bn的前n项和的Tn； (2)若对任意的nN*，不等式Tnn8(1)n恒成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正整数m，n(1mn)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由,从近几年新课标高考试题可以看出，不同省市的高考对该内容要求的不尽相同，考生复习时注意把握数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决,热点突破18数列与解析几何

10、、三角交汇问题的求解策略,一、数列与解析几何的交汇 【示例】 (2011陕西卷 )如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.,再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n) (1)试求xk与xk1的关系(2kn)； (2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.,审题与转化 第一步：求点Qk1的坐标及过点Qk1的切线方程 第二步：令切线方程y0得出xk与xk1的递推关系 规范解答 第三步：(1)切点Qk1(xk1，exk1)，

11、切线方程为：yexk1exk1(xxk1)，令y0得：xkxk11(2kn),反思与回顾 第四步：解决此类题目仅靠单一知识点，无异于杯水车薪，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重要作用,二、数列与三角的交汇 【示例】 (2011安徽卷)在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlg Tn，n1. (1)求数列an的通项公式； (2)设bntan antan an1，求数列bn的前n项和Sn.,规范解答 第二步：(1)T(t1tn2)(t2tn1)(tn2t1)102(n2)，anlg Tnn2(n1)； (2)由题意和(1)中计算结果，知 bntan(n2)tan(n3)，n1.,反思与回顾 第三步：本题难度较大，考生很难想到求T及两角和正切公式的应用，但细心品味一下本题还是不错的，命题人真费了不少工夫,1(2011陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_(米),高考经典题组训练,解析将20位同学视为数轴上0、10、20、19