数学建模正文

1、附一：封面样式 数学建模一周论文论文题目：乒乓球赛问题 姓名1： 学号： 姓名2： 学号： 姓名3： 学号： 专 业： 班 级： 指导教师： 年 月 日 摘要“乒乓球赛”数学模型是根据参赛人出场顺序不同，来探讨如何有效地获取最大几率的胜利。就我们所知道的，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力。 如何最大可能获取胜利，是每个队共同追求的，建立乒乓球模型，可以帮助我们更快解决这一难题，乒乓球的建模问题可以与数学的建模问题联合起来。以“五局三胜制”进行乒乓球赛，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键。题中所

2、给矩阵也只是打满五局A队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有不同的结果。当站在A队的角度，分析采取不同的出场方案。对“五局三胜制”的乒乓球赛，我们进行了假设、分析、建模、解模。A队以次序出场、B队以次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数 ，并且假设各局是否获胜是相互独立的，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举，比较双方的实力。从矩阵中可知，A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜 局，A、B两支队伍实力的强弱与胜利的次数有关，由A队在5局比赛中获胜的概率分布为： ，k=0,1,2,3,4,5 ，然后计算五局三胜制比赛中A队最后获胜的

3、概率：在矩阵 中A队以 次序出场、B队以 次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。建模目的：通过两支乒乓球队过去所比赛胜负的记录来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。关键词五局三胜制 乒乓球赛 获胜概率一、 问题重述 乒乓球赛问题 A、B两乒乓球队进行一场五局三胜制的乒乓球赛，两队各派3名选手上场，并各有3种选手的出场顺序（分别记为 和）。根据过去的比赛记录，可以预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜局。由此得矩阵如下：（1） 根据矩阵R

4、 能看出哪一队的实力较强吗？（2） 如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3） 如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？（4） 比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？ 就我们所知道的，在奥运会中，乒乓球赛也是以五局三胜制来定胜负的。它更能体现运动员的综合能力，是乒乓球团体赛常用赛制，即一方赢完三场比赛即终止赛事。比赛具体规则及要求如下：1、中间一场为双打，其余四场为单打比赛。 （1）一个队由三名运动员组成，每名运动员出场2次。 （2）比赛顺序是： 主队VS客队 第一场 A1 B1 第二场 A2 B2 第三场 A3+A1

5、或A2 B3+B1或B2 第四场 A1或A2 B3 第五场 A3 B1或B2 。（3）在打完前两场比赛后再确定双打运动员的出场名单。参加了双打比赛的运动员，不能参加后面的单打比赛；未参加双打比赛的运动员才可以参加后面的单打比赛。2.每局的比赛情况如下：（1）在一局比赛中，先得11分的一方为胜方；10平后，先多得两分的一方为胜方。（2）在获得两分后，接发球方变为发球方，依此类推，直到该局比赛结束，或直至双方比分为10平，或采用轮换发球法时，发球和接发球次序不变，但每人只轮发1分球。（3）在双打中，每次换发球时，前面的接发球员应成为发球员，前面的发球员的同伴应成为接发球员。在一局比赛中首先发球的一

6、方，在该场比赛的下一局中应首先接发球，在双打比赛的决胜局中，当一方先得5分以后，接发球的一方必须交换接发球次序。一局中，在某一方位比赛的一方，在该场比赛的下一局应换到另一方位。在决胜局中，一方先得5分时，双方应交换方位。本题是以“五局三胜制”进行乒乓球赛事，即使两队实力差不多，但不同的出场顺序仍可能导致不同的结果，作为一名教练，怎样合理的安排运动员的出场决定比赛胜败的关键，题目中，所给出的矩阵，只是在以前比赛的基础上，根据他们取得的成绩，对比赛结果进行了一个大致的预测。从矩阵中个元素值得大小，我们可以看出，不同队实力的强弱，同样，不同的出场方案会产生不同的结果。此时，我们站在A队的角度，我们对

7、矩阵进行分析，采取不同的出场方案，对“五局三胜制”的乒乓球赛事，我们进行了假设，分析，建模，解模，最后得出了以下结论。二、 问题的分析一直以来，乒乓球赛都是以五局三胜制来定胜负的。因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力，是乒乓球团体赛常用赛制，即在进行五局比赛或者少于五局比赛的情况下，一方赢完三场比赛即终止赛事。从题目中给出的矩阵，我们可以计算出，在完成五局比赛的情况下，A队获胜的概率为5/9，B队获胜的概率为4/9，相比之下，A队实力更强，获胜的概率更高。两队的实力总体而言差不多,所以稳妥点很难分出胜负，甚至有些局可能要打好久才能分出个胜负,当然是让a3,a1,a2,a3,a1的顺序。优点会

8、避免因一个人由于发挥不好的因素，以为他最多可以打两局比赛.本文根据两支乒乓球队，在过去比赛中取得的成绩或胜负的记录，来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，根据实际情况，乒乓球比赛模型与概率中的二项式模型相似，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。三、模型的合理假设由题中所给矩阵，当A队以次序出场、B队以次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的（实际上也许并不是这样，但是题目中给我们的信息太少，我们只能这样假设）。这样，5局比赛就是一个独立重复试验序列。比赛

9、实际上是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举。1.A队的情况分析：（1）.当A选的时候，则能可胜、分别是：2，1，4局，其中赢1盘，输2盘，而且赢得总局数为7。 （2）.当A选的时候，则能可胜、分别是：0，3，4局，其中赢2盘，输1盘，而且赢得总局数为7。（3）.当A选的时候，则能可胜、分别是：5，3，1局，其中赢2盘，输1盘，而且赢得总局数为9。由上面的分析可得，不论B选择什么方案，相比于和的情况是处于不利地位的，而对比和，的战况和满意程度都比的高。因此，A队最稳妥的方案是。2.B队的情况分析：（4）.当B选的时候，则能可胜、分别是

10、：2, 0, 5局，其中赢1盘，输2盘，而且赢得总局数为7。 （5）.当B选的时候，则能可胜、分别是：1, 3, 3局，其中赢2盘，输1盘，而且赢得总局数为7。（6）.当B选的时候，则能可胜、分别是：4，4，1局，其中赢2盘，输1盘，而且赢得总局数为9。 同理可得，不论A选择什么方案，相比于和的情况是处于不利地位的，而对比和，的战况和满意程度都比的高。因此，B队最稳妥的方案是。四、建模过程1.问题一: 根据矩阵R 能看出哪一队的实力较强吗？1）模型假设：从矩阵中可知，A队以次序出场而B队以次序出场，则打满5局A队可胜局，A、B两支队伍实力的强弱与胜利的次数有关。2）定义符号说明：A队的选手 B

11、队的选手 A队在5局比赛中获胜的局数 A队获胜的概率A队最后获胜的概率3）模型建立与求解：设是A队在5局比赛中获胜的局数，显然，服从二项分布，概率分布为，k=0,1,2,3,4,5 。R矩阵中的9个元素，是在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率。假设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是种不同的出场次序出现的概率相同，都是，那么，就可以求出A队在每一局比赛中获胜的局数A=（2+1+4+0+3+4+5+3+1）/9=2.2.大于2.5从每五局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些。由五局的实力可得每局获胜的概率分别为2/5，1/5，4/5，0/5，3/5，4/5，5/5，3/5，1/5，我们可

12、以得到这样一个矩阵 。比赛是五局三胜制，要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。下面我们来计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率： A队最后获胜，可以分成下列几种情况：（1）A队前三局获胜。这种情况的概率为 ；（2）在前三局中A队胜二局，B队胜一局，第五局A队又胜一局。这种情况的概率为 ；（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局。这种情况的概率为 ； 把这三种情况加起来，就得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率 。将 各数值代入上式，可以计算出A队最后获胜的一个矩阵 。矩阵中元素表示：当A队以次序出场、B队以次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率（也就是B队最后失败的概率

13、），根据矩阵R 能看出A队的实力较强。2.问题二:如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？ 1）模型假设：对于A、B队来说，“稳妥的方案”是采用不同的方案使得自身获胜的概率最大。2）定义符号说明：A队的选手 B队的选手 3）模型建立与求解：从矩阵可以看出：1.对于B队来说，需考虑最坏的情况，采用出场次序时，最坏的情况是A队出场次序，B队失败的概率为1，采用出场次序时，最坏的情况是A队出场次序，B队失败的概率为0.68256，采用出场次序时，最坏的情况是A队出场次序，B队失败的概率为0.94208，3个失败概率中，为最小，所以，B队最稳妥的方案是采用出场次序。2.对于A队来说，采用出场次序

14、时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；采用出场次序，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为。3个获胜概率中，为最大，所以，A队最稳妥的方案是采用出场次序或。综上所述可得，“稳妥的方案”如下：（1）若B队采用，A队采用，则B队获胜；若B队采用，A队采用，则A队获胜。（2）若A队采用，B队采用，则B队获胜，若B队采用，则A队获胜，若B队采用，则A队获胜。（3）若A队采用，B队采用，则A队获胜，若B队采用，则A队获胜，若B队采用，则B队获胜。3.问题三:如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？1）模型求解：对于A队来说，有如

15、下情况：1.如果A队采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；2.如果A队采用出场次序时，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为；3. 如果A队采用出场次序，最坏情况是B队采用出场次序，A队获胜概率为。3个获胜概率中，为最大，因此 A队最稳妥的方案是采用出场次序或。从A队角度来看要在比赛中获胜采用最稳妥的方案是，因为此时A队获胜的概率最大。4.问题四:比赛为五战三胜制，但矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，这样的数据处理和预测方式有何优缺点？数据处理和预测方式的优缺点：根据过去的比赛记录，由于已经预测出如果A队以次序出场而B队以次序出场，A队打满5局可胜局，因为

16、比赛为五战三胜制，A、B队谁先获胜三场将会获得胜利。虽然矩阵R 中的元素却是在打满五局的情况下得到的，但是这样却在以往经验的基础上获得的，在凭借以往的数据上通过计算预测对方和自身的实力，这样从而更好指导现实中生活，有计划、准备的训练队员是非常有必要的。本文中的数据是在以往经验的基础上获得的，并不符合实际参赛规格，对方的实力可能也在不断地变化着，所以不能完全的相信以往的经验，经验只能仅供参考，对于自身而言更加重要加强自己的实力。五、模型的优点、缺点分析模型的优点：（1） 准确利用了题中提供的数据，并且对数据进行了较透彻的分析，抓住了分析的要点，剔除了一些不符合实际情况且对问题影响不大的数据，较好

17、的完成了数据的提取与运用。（2） 本模型很好地体现了乒乓球比赛中五局三胜制的作用，从预测A队胜利的场次入手，使得求解有了很大简化，并使各种影响因素更好的结合。模型的缺点：（1） 在预测其他影响因素时也使用了一些简化考虑，使得模型预测精度有所降 低。（2） 将五盘三胜制淘汰的主要目的是防止在下一周的赛事中有球员最后退出。最好的例子就是今年费德勒和纳达尔在打完五盘的罗马大师赛决赛后双双放弃了紧接着进行的汉堡大师赛。六、模型推广数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建

18、模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。众所周知，任何项目的体育比赛，其结果都会受到许多有关因素的影响，而这些因素又可以分为两类：一类是随机因素，例如参赛各方的临场发挥，比赛时的天气情况等；另一类是确定性因素，例如参赛各方的总体实力，比赛所采用的规则、赛制等。由于随机因素是人们无法控制的，所以人们总是在确定性因素例如比赛规则方面经常改进，以使得比赛更加精彩合理。作为体育赛事的组织者，除了尽可能地使参赛各方在平等条件下进行竞争之外，很重要的目标之一就是设法使比赛结果最大限度地体现出各队的真实水平。从数学观点看，就是要使得比赛中强队获胜的概率达到最大。就比赛中采用的规则而言，许多项目的比赛经常采用五局三胜制。而在“乒乓球赛”数学模型是通过参赛人出场顺序来探讨如何有效地获取更大几率的胜利，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，五局三胜制更能体现运动员的综合能力, 乒乓的建模问题与数学的建模问题联合起来看的，可以通过以往的经验，在凭借以往的数据上通过计算预测对方和自身的实力，这样从而更好指导现实中生活，有计划、准备的训练队员，这在现实生活中是非常有必要的。现实生活中的其它领域，比如：篮球、羽