江苏省姜堰中学学年度寒假自我检测(附答案)

1、最新资料推荐江苏省姜堰中学2014 年学年度暑假自我检测（附答案）高一年级 18 班级（ A 班）姓名： _ 班级： _ 考号： _一、简答二、计算三、综合题号题总分题题得分评卷人得分一、简答题1、已知 a R，函数 f ( x) ( x2 ax)e x ( x R， e 为自然对数的底数) (1) 当 a 2 时，求函数 f ( x) 的单调递增区间；(2) 若函数 f ( x) 在( 1,1) 上单调递增，求a 的取值范围评卷人得分二、计算题2、已知函数的最小值为（）求（）是否存在实数m， n 同时满足下列条件： mn3；当的定义域为22n ， m时，值域为 n， m ？若存在，求出m，

2、n 的值；若不存在，说明理由.3、已知函数（ 1）判断函数的奇偶性；1最新资料推荐（ 2）求证：；（ 3）若，求的值。4、已知函数（ 1）若函数上为增函数，求正实数a 的取值范围；（ 2）当 a=1 时，求上的最大值和最小值；（ 3）当时，求证：对大于1 的正整数n，5、已知函数f(x)（ x R）满足下列条件：对任意的实数x1、 x2 都有f(x1)f(x 2) 和 |f(x1)f(x 2)| |x 1 x2| ，其中是大于 0 的常数，设实数a0， a， b 满足 f(a 0)=0 ， b=af(a).（ 1）证明 1，并且不存在b0 a0，使得 f(b 0)=0（ 2）证明（ ba0）

3、2 (12)(a a0) 2（ 3）证明 f(b)2 (1) f(a)26、若且（ 1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）2最新资料推荐（ 2）设为两实数，且若求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）7、已知函数在区间内各有一个极值点.（）求的最大值；（）当时，设函数在点处的切线为，若在点 A 处穿过的图象（即动点在点A 附近沿曲线运动，经过点A 时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式 .8、已知函数(1) 证明：存在，使；(2) 设=0 ，其中=1， 2，证明：；(3) 证明：9、如果函数在区间D 上有定义，且对任意，则称函数为区间 D 上的“凹函数”，（）已知是否是“

4、凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（）对于（）中的函数有下列性质：“若使得3最新资料推荐”成立，利用这个性质证明唯一 .（）设A、 B、 C 是函数图象上三个不同的点，求证： ABC是钝角三角形.评卷人得分三、综合题（每空？分，共？分）10、已知函数（ 1）若，且对任意的实数，都有成立，求的取值范围；（ 2）若时，的最大值为M，求证：；（ 3）若, 求证：对于任意的，恒成立的充要条件是11、已知 a 为实数，函数 f ( x)= x2-2 aln x.（ ）求 f ( x) 在 1 ，+上的最小值g( a);（ ）若 a0, 试证明“方程 f ( x)=2 ax有唯一解”的充要条

5、件是“a=” .12、已知函数与的图象相交于，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点（ I ）求的取值范围；（ II ）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；（ III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）4最新资料推荐13、已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直(1)求实数的值；(2)求在（为自然对数的底数）上的最大值；(3)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？14、定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。（ 1）若函数为“ 1 性质函数”，求

6、；（ 2） 判断函数是否为“性质函数”？说明理由；（ 3）若函数为“ 2 性质函数”，求实数的取值范围；15、设二次函数方程的两根和满足（）求实数a 的取值范围 ;（）试比较的大小，并说明理由.16、已知函数f(x)=mx 3+nx 2(m、 n R ,m 0) 的图像在（2， f(2)）处的切线与x 轴平行 .（ 1）求 n,m 的关系式并求 f(x) 的单调减区间；（ 2）证明：对任意实数 0x 1x21, 关于 x 的方程：5最新资料推荐在（ x1,x 2）恒有实数解（ 3）结合（ 2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间a,b上连续不断的函数，且在区间(a,b)

7、内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得. 如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件. 试用拉格朗日中值定理证明：当 0an3， 上是减函数.7最新资料推荐2 2 的定义域为 n ， m；值域为 n ， m ，得： mn3， m+n=6，但这与“ mn3”矛盾 .满足题意的m， n 不存在3、解：（ 1）由得。函数的定义域为（1， 1），关于原点对称。函数可变为。又，是奇函数。（ 2）证明，（ 3）是奇函数，8最新资料推荐又由可得，解得。4、解：（ 1）由已知：，依题意得：恒成立，（ 2）当则上的惟一的极小值点，也就是最小值点，故；9最新资料推荐即函数综

8、上知函数最小值是0。（ 3）当由（ 1）知，函数上为增函数，当，即5、证明：（ 1）任取则由和可知从而假设有式知矛盾不存在使10最新资料推荐（ 2）由可知由式得由式得将代入得（ 3）由式知（用式）（用式）6、解 : （）恒成立（ * ）11最新资料推荐因为所以，故只需（ * ）恒成立综上所述，对所有实数成立的充要条件是：（） 1如果，则的图象关于直线对称因为，所以区间关于直线对称因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为2如果.（ 1）当时 .，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以即当时，令，则，所以，12最新资料推荐当时，所以=时，所以=在区间上的单调增区间的长度和=

9、（ 2）当时 .，当，因为，所以，故=当，因为，所以故=因为，所以，所以当时，令，则，所以，当时，所以=时，所以=13最新资料推荐在区间上的单调增区间的长度和=综上得在区间上的单调增区间的长度和为7、解：（ I ）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16（）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点而，且14最新资料推荐若，则和都是的极值点所以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）当

10、时，当时，；或当时，当时，设，则当时，当时，；或当时，当时，由知是的一个极值点，则，所以，又由，得，故8、解： (1)令 g()= () 一 ，则 g(0)=(0) 一 0=，15最新资料推荐g()=() 一=又 g() 在 0 ， 上连续，所以存在0 (0 ，) 使 g(0)=0 ，即(0 )=0(2) ()=32 2+=3(一) 2 +0 ( ) 是 R 上的单调增函数 0 0 ，即10y1 ，又( ) 是增函数 ( 1 ) (0)(y 1) ，即 2 00=1，y 2=(y 1)=()=y 1综上，110 y2y1 用数学归纳法证明如下：当=1 时，上面已证明成立；假设当=k(k 1)

11、时，有kk+10yk+1 yk当=k+1 时，由() 是单调递增函数，有(k )(0)(y k+1)(y k)即k+1k+20 yk+2y k+1由和知，对一切=1， 2，都有nn+1 0yn+1yn(3) 方法一： 0n yn，16最新资料推荐 0nyn， 0n+y n1 得一n+yn 一= (+) 2 一 (+)+=(+) 2+，即- (-) 方法二：0， 0+ 1=0知 mx(x-2)0.27最新资料推荐当 m0时得 x2 ，f(x) 的减区间为（ 0， 2）；当 m0时得： 0x0时， f(x)的减区间为（0， 2）；当 m0时 ,f(x)的减区间为（- ， 0），（ 2， +）；可化为3x2-6x-x2-x2-xx+3x+3x=0, 令 h(x)= 3x2-6x-x2-x2x +3x+3x121212-x112212则 h(x 1 )=(x 1-x 2) (2x 1 +x2-3),h(x2)=(x 2-x 1)(x 1+2x 2-3),即 h(x 1 )h(x 2)=-(x 1-x 2) 2(2x 1+x2 -3)(x 1+2x2 -3)又因为0x1x21, 所以 (2