9 2二重积分计算

1、第二节二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分三、二重积分的应用一、利用直角坐标系计算二重积分j1 ( x) y j2 ( x).如果积分区域为：a x b,X型其中函数j1 ( x) 、j2 ( x) 在区间a,b上连续.y = j2 ( x)Dy = j1 ( x)aby = j2 ( x)Dy = j1 ( x)abQ f ( x, y)ds 的值等于以 D 为底，以曲面 z =Df ( x, y) 为曲顶柱体的体积z = f (x, y)z应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,A(x0 )yy = j2 (x)xy = j1 (x)j 2 (

2、 x )bDs=f ( x, y)ddxf ( x, y)dy.得j ( x )a1j1 ( y) x j2 ( y).如果积分区域为：c y d ,Y型x =x = jj2 ( y)( y)j 2 ( y )dDs=f ( x, y)ddyf ( x, y)dx.j( y )c1dj1 ( y)Dx = j2cd1 ( y)D x =cX型区域的特点： 穿过区域且垂直于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且垂直于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式D= D1+ D2+ D3.D3D1D2例1:改变下列

3、积分的次序1- x1改变积分 dxf ( x, y)dy 的次序.(1)00解积分区域如图1- y1原式= dyf ( x, y)dx .00y = 1 - x(2)1改变积分2 x- x22- x2dx0f ( x, y)dy +dxf ( x, y)dy的次序.001D: 0 x 1,0 y 2x - x2解1y = 2 - xD2 : 1 x 2,0 y 2 - xy =2x - x2积分区域如图2- y11-1- y2原式=dyf ( x, y)dx.0x = y2y = x2例 2求( x2 + y)dxdy，其中D是由抛物线Dy = x2和x =y2所围平面闭区域.解两曲线的交点

4、y = x2 (0,0), (1,1), x =y21x( x2 + y)dyD( x2 + y)dxdyx2=dx0 x(x - x2 ) + 1 ( x - x4 )dx= 33 .1=221400x = y2y = x2例3：计算 ( x2 + y2 )dxdyDD : x 1, y 1y1-111解：原式=(x2+ y 2 )dy)dx(-1x13=(xy +231-1y)dx-1(2 + 2x2 )dx =2 + 2x2 )dx = 811=2(333-10o例4：计算 xdxdy,其中D由y = 2 x, y = x2Dy = 12 - x围成的区域。x+y=120 x 4, x

5、y 2xy=2x解: D1:D224 x 8, x y 12 - xD1D:22y=x/212-xdy4xdx2xdy +8xdxDxdxdy =xx0422xx248=x(2x -)dx+x(12 - x -)dx204211= (x-x) |0 36334+(6x-x) |22384= 962例5 求 x2e- ydxdy ，其中 D 是以(0,0),(1,1),D(0,1)为顶点的三角形.2解 Q e- ydy 无法用初等函数表示 积分时必须考虑次序1y2 x2e- y dxdyD2x2e- y dx=dy00= 1 (1 - 2).3 ydy2 ydy21122=- y=- yee6e

6、3600例6：求y - xdxdy,其中D：0 x 1，0 y 1Dyx - yx yx y解：y - x= y - xxoDy - xdxdyx - ydxdy +y - xdxdyD1D2111y=x - ydx +3y - xdx3dydy0y002323211=(x - y)21 dy +-(y - x)2y dyy0300323(1 - y)2 dy23811= dy +y1500D2D1练习：1. siny 2dxdy，其中D是由x = 0, y = 1, y = x围成的区域D0 x 12.设a 0,f (x) = g(x) = aD表示全平面，而0其它求I = f (x)g(y

7、 - x)dxdyD0 y - x 1 x y 1 + x其它解: g(y - x) = a0+x11DI =f (x)g(y - x)dxdy= a2dy = a2dx0x二、利用极坐标系计算二重积分Ds= 1 (r1+ Dr )2 Dqr Dq2-iiiiii22q = q+ Dqr = ri + Drir = riii1+ Dri )Dri Dq i=(2r2iDsi+ (ri + Dr )= ri DqDriii2 Dri Dqi ,Dq = qiA riof (r cosq , r sinq )rdrdq .Df ( x, y)dxdy = D二重积分化为二次积分的公式（）1)极点O

8、在积分区域D的外部区域特征如图r = j1 (q)r = j2 (q)a q b ,j (q ) r j(q ).12 f (r cosq , r sinq )rdrdqDbaoADbj (q )q2f (r cosq , r sinq )rdr.=daj1 (q )二重积分化为二次积分的公式（）2)极点O在积分区域D的边界上区域特征如图r = j (q )Da q b ,0 r j (q ).boA f (r cosq , r sinq )rdrdqDbj (q )= adq 0f (r cosq , r sinq )rdr.二重积分化为二次积分的公式（）3)极点O在积分区域D的内部r =

9、j (q )区域特征如图D0 r j (q ).0 q 2p,Ao f (r cosq , r sinq )rdrdqD2pj (q )= 0dq 0f (r cosq , r sinq )rdr.o= rdrdq .D极坐标系下区域的面积y一般情况下，被积函数为f(x2 + y),f ()2或积分区域x为圆域或圆的一部分时用极坐标。例1：计算I = Dx2+ y 2ds, D : x2 + y 2 2xp22cosq0原式=dqr 2drp2-83p2=cos3 qdqp2-= 329例2求I = arctg y dsD由x2+ y 2= 4,x2+ y 2= 1,xDy = 0, y =

10、x, x 0围成。= 3 p2p2解: I =4 qdqrdr6401例3计算 ( x2 + y2 )ds，D为由不等式 D2x - x2 y 54 - x2 所确定的域。 4 p如何化简二重积分的计算I = f (x, y)dxdyD(1)D关于x轴对称D = D1 D20f (x, y)关于y为奇函数f (x, y)关于y为偶函数I = 2 f (x, y)dxdyD1(2)D关于y轴对称0f (x, y)关于x为奇函数f (x, y)关于x为偶函数I = 2 f (x, y)dxdyD1(3)D关于原点对称0f (-x,-y) = -f(x, y)f (-x,-y) = f (x, y)

11、I = 2 f (x, y)dxdyD1例4：I = xydxdy，其中D : x +y 1DD1D2关于原点对称，xy 关于x, y为偶函数DD31D3 D4关于原点对称，xy 关于x, y为偶函数D2D4D3 D1关于y轴对称，xy 关于x为偶函数 = , = D4, D1= D1D2D3D316-x11I4 xydxdy =Dxydy =4dx001三.二重积分的应用1.平面图形的面积例5 设t 0,s是由xy = t 2与x + y = 5 t所围成区域的面积21(t,2t) 215已知s =ln 2,求t.165t-x 2D12t解：s =dxdy =(2t,t)dxdy1222tt

12、D2txt 2551=(t - x -)dx = (tx -xx222- t22t t2lnx)122t= (15 - ln 2)2t2= 15 - ln 2t2= 1 ,t =21616222 立体的体积+ y 2= a2与x2 + z 2= a2相交所围成立体的体积求x2例6a2- x2dxdy解：V8V 81Da2 -x2aa- xdy228dx00164a3例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，z = x + y， z = xy， x + y = 1， x = 0， y = 0.解曲面围成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是x + y xy,Q0 x + y 1,所求体积V =

13、( x + y - xy)dsD- x11=( x + y -dxxy)dy0012= 7 .1= x(1 - x) +- x)dx3(1240四、小结二重积分在直角坐标下的计算公式j 2 ( x )bs=f ( x, y)ddxf ( x, y)dy.X型j ( x )a1Dj 2 ( y )d f ( x, y)ds= dyf ( x, y)dx.Y型j1 ( y )cD（在积分中要正确选择积分次序）二重积分在极坐标下的计算公式 f (r cosq , r sinq )rdrdqDbj (q )q2f (r cosq , r sinq )rdr.=daj1 (q )=bj (q )a0qf

14、 (r cosq , r sinq )rdr.dpj (q )2qf (r cosq , r sinq )rdr.=d00（在积分中注意使用对称性）2a2ax2ax- x2dxf ( x, y)dy(a 0)练习 1改变积分0的次序.解y =2axy =2ax - x2 x = a - y2a2a2 - y2a-y2a=原式dy2af ( x, y)dx02a2a2aa+ dy+ dyf ( x, y)dx.f ( x, y)dx2y22a+a - ya02a2aaa2a2 x- x22( x2 + y2 )dydx练习 2化二次积分为极00坐标形式的二次积分，并求值。p2cosq232原式=

15、 dq rrdr = 4 p00思考题1f ( x)dx = Af ( x)0,1设在上连续，并设，011求 dxf ( x) f ( y)dy .0x思考题解答1f ( y)dy不能直接积出,Q改变积分次序.x11令I = dxf ( x) f ( y)dy ,0x1y则原式=dyf ( x) f ( y)dx .001x=f ( x)dxf ( y)dy,00111x故2I =+f ( x)dxf ( y)dyf ( x)dxf ( y)dy0x001x1=+f ( x)dx() f ( y)dy00x11=f ( x)dxf ( y)dy = A.200练 习 题一、填 空题: 1、 (

16、 x 3+ 3 x 2 y + y 3 )ds= .其中D D : 0 x 1,0 y 1. 2、 x cos( x + y)ds= .其中D是顶D 点分别为 (0,0)，(p ,0) ，(p ,p ) 的三角形闭区域 . 3、将二重积分f ( x, y)ds ,其中D是由x轴及半圆周Dx 2+ y 2= r 2 ( y 0)所围成的闭区域,化为先对y的二次积分,应为 .后对 x 4、将二重积分 f ( x, y)ds ,其中D 是由直线D y = x, x = 2 及双曲线y = 1 ( x 0)所围成的闭区x 域,化为先对x 后对y 的二次积分,应为 .2 x - x 22dx 12- x

17、f ( x, y)dy 改换积分次序, 5、将二次积分 应为 .psin x 6、将二次积分0dxf ( x, y)dy 改换积分次序,x2-sin 应为 .12dyf ( x, y)dx 7、将二次积分- 2-ln ye1+22 + 1dyf ( x, y)dx 改换积分次序,2( y-1) 应为 .二、画出积分区域,并计算下列二重积分: 1、 e x + y ds ,其中D 是由 x + 1所确定的闭区域.yD 2、 ( x 2 + y 2 - x)ds 其中D 是由直线D y = 2, y = x及y = 2 x 所围成的闭区域.p2cos yx 3、Df ( x, y)ds =dxdy。p00(- x)( x - y)24、y - x 2dxdy, 其中D : - 1 x 1,0 y 2.D三、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x + y = 2, y = x和x 轴所围成,它的面密度r ( x, y) = x 2 + y 2 ,求该薄片的质量 .由曲面z = x 2 + 2 y 2 及z = 6 - 2 x 2- y 2 ,所围成的四、求 立体的体积 .