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文档简介

1、,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,解: 设所求曲线方程为y=y(x), 则有如下关系式:,(C为任意常数),由 得 C = 1,所求曲线方程为,由 得,切线斜率为 2x ,求该曲线的方程 .,例2. 列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s= s(t) .,制动时,(1

2、),(2),常微分方程,偏微分方程,含未知函数导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.,(本章内容),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,分类,或,( n 阶显式微分方程), 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,其图形称为积分曲线.,通解:,特解:,例1. 验证函数,是微分方程,的通解,的特解 .,解:,由初始条件解得:,故所求特解为,并求满足初始条件,是,是,不是,是,求所满足

3、的微分方程 .,(2)已知曲线上点 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,作业：P298 1（做书上） ; 2 (2)；4 (2); 5（1）,转化,可分离变量微分方程,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,分离变量方程的解法:,两边积分, 得,由隐函数 y (x) 是的解.,则有,称为方程的隐式通解, 或通积分.,由隐函数 x(y) 也是的解.,设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x),例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,y

4、= 0 也是方程的解.,例2.,解: 分离变量,即,( C 0 ),积分,例3. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件y(0)=1得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例4.,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,由初始条件得,故所求铀的变化规律为,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,例5.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞

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