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文档简介

1、科学出版社,第三节,一、已知平行截面面积的立体的体积,二、旋转体体积,体积,第六章,科学出版社,一、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,科学出版社,例1.,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,科学出版社,如果选择 y 作积分变量，怎么处理 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,科学出版社,解:,所围立体(椭球体),

2、它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a = b = c 时就是球体体积 .,的体积.,例2.,计算由曲面,垂直 x 轴的截面是椭圆,科学出版社,二、旋转体体积,旋转一周围成的立体体积：,当连续曲线是,时，其绕 y 轴旋转一周围成的立体,体积为：,连续曲线,科学出版社,例3.,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1,则利用对称性，有,计算由椭圆,利用直角坐标方程,科学出版社,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,科学出版社,例4.,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解:,利用对称性,计算摆线,绕 x 轴旋转而成的体积为,科学出版社,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,科学出版社,分部积分,(利用“偶倍奇零”),科学出版社,柱壳体积,注:,柱面面积,科学出版社,偶函数,奇函数,科学出版社,例5.,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,设,科学出版社,*例6.,与 x 轴围成的封闭图形

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