10 1微分方程基本概念

1、第一节微分方程的基本概念问题的提出微分方程的定义主要问题求方程的解小结1 一曲线通过点(1,3), 且在该曲线上任一点例M ( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程.设所求曲线为 y = y( x)解dy = 2 xdxy = 2 xdx即 y = x2 + C , C = 2其中x = 1时, y = 3所求曲线方程为y = x2 + 2 .例2已知质点从静止开始运动, 在任一时刻 t ,质点的加速度为 a(t)= t+2 , 求质点的运动方程.s = s(t ) ,则 s (t ) = v(t ) = a(t )解设所求方程为dv = t + 2其中t = 0时, v = 01

2、dtv = (t + 2)dt求得C = 0,即v =t 2+ 2t + C,2 v = 1 t 2 + 2t ,2+ 2t .ds = 1 t 2即dt2= 1 t 3 + t 2 + C1, s = ( 2 t+ 2t )dt216C1 = 0,将 t = 0, s = 0 代入上式,得所求运动方程为s(t ) = 1 t 3+ t 2 .6d 2s =t + 2即dt 2Def微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.微分方程的阶:数的最高阶数.微分方程中出现的未知函数的导常微分方程未知函数为一元函数的微分方程偏微分方程未知函数为多元函数的微分方程例x3y + x2y - 4

3、x(y)5-三阶常微分方程= 3x2x z +z2y=-二阶偏微分方程-不是微分方程sinxyx2uv + uv = (uv)dy + ex=d (y + ex )-不是微分方程dxdxxdy + ydx = ex-一阶微分方程Def微分方程的解:若有一函数y=f(x)满足微分方程，则此函数称为微分方程的解如果由F(x, y) = 0确定y = f (x)满足微分方程,则F(x, y) = 0称为微分方程的隐式解.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:用来确定任意常数的条件

4、.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题. y =f ( x, y)过定点的积分曲线;一阶:一阶微分方程的初始条件二阶微分方程的初始条件f ( x, y, y) y=二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. y=y, y=yx= x00x= x00 y=yx= x00例 3 验证:函数是微分d 2 x +x = 0的解.2k方程dt 2并求满足初始条件= A, dx= 0的特解.xt =0dtt =0Q dx = -kCsin kt + kCcos kt,解12dtd 2 x = -kC1 cos kt - kC2 sin kt,22dt 2d 2 x和x的表达式代入原方程,将d

5、t 2- k 2 (Ccos kt + Csin kt) + k 2 (Ccos kt + Csin kt) 0.1212故 x = C1 cos kt + C2 sin kt 是原方程的解.dx C= A,C= 0.= A,= 0,Qx12t =0dtt =0所求特解为x = Acos kt .练习题一、填 空题: 1、xy + 2 y + x 2 y = 0是 阶微分方程；d 2 QdQQ+ R+= 0 是 阶微分方程；2、Ldt 2dtcdr23、+ r = sinq 是 阶微分方程；dq4、一个二阶微分方程的通解应含有 _个任意常数 .二、确定函数关系式y = c1 sin( x - c2 )所含的参数,使其 满足初始条件y x=p = 1 , yx=p = 0.三、设曲线上点P( x , y) 处的法线与x 轴的交点为Q,且线段PQ 被y 轴平分,试写出该曲线所满足的微分方程.练习题答案一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.= 1, C= p .二、C122三、yy