第六节二次函数.ppt

1、第六节二次函数,基础梳理,1. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式： . (2)顶点式： . (3)交点式： . 2. 二次函数的图象和性质,f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a 0),f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)=a(x-h)2+k(a0),R,R,b0,b=0,3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系如下表所示：,无解,x|xx2,x|xx0,R,x|x1xx2,基础达标,1.(必修1P25练习7改编)函数f(x)=(x-1)2-1，x0,2的 值域为_ 2. (必修1P44习题9改编)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函数， 则m=_.,1.

2、解析：0 x2时，f(x)max=f(0)=f(2)=0，f(x)min=-1， 故值域为-1,0,-1,0,2.解析：由f(-x)=f(x)，得m+2=0，则m=-2.,-2,3. f(x)=x2-2ax+3的增区间为4，+)，则a=_. 4. 二次函数f(x)的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0)，则 f(x)=_.,3.解析：由题意知增区间为a，+)，a=4.,4,4.解析：设f(x)=a(x-2)2+4过(3,0)，故0=a(3-2)2+4， a=-4.f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12.,-4x2+16x-12,5. (2011扬州中学期中考试)若不等式x2+b

3、x+c0的解集是(-1,2)，则b+c=_.,-3,经典例题,【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1， 且f(x)的最大值是8，试求此二次函数的解析式,题型一求二次函数解析式,分析： 由题目条件知二次函数过(2，-1)，(-1，-1)两点， 且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式 解题,解：方法一：利用二次函数一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a0) 由题意得 解得 所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7,方法二：利用二次函数顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n(a0) f(2)=f(-1)， 抛物线对称轴为x= ， m= . 又根据题意函数有最大

4、值f(x)max=8， . f(2)=-1，即 ， 解得a=-4.,方法三：利用两根式 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0)， 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值f(x)max=8， 即 =8， 解得a=-4，或a=0(舍去) 所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,如图是一个二次函数y=f(x)的图象 (1)写出这个二次函数的零点； (2)求这个二次函数的解析式； (3)当实数k在何范围内变化时，g(x)=f(x)-kx 在区间-2,2上是单调函数,变式1-1,解析：(1)由图可知二次函数的零点为-

5、3，1. (2)设二次函数为y=a(x+3)(x-1)，由点(-1，4)在 函数图象上，得a=-1，则y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. (3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3，开口向下， 对称轴为x=- . 当- -2，即k2时，g(x)在-2,2上单调递减； 当- 2，即k-6时，g(x)在-2,2上单调递增 综上所述，当k-6或k2时，g(x)在区间-2,2 上是单调函数,【例2】已知f(x)=x2+3x-5，xt，t+1，若f(x)的 最小值为h(t)，写出h(t)的表达式,题型二求二次函数最值,分析： 在对称轴确定的情况下，对区间t，t+1进行讨

6、论,解：二次函数的图象的对称轴x=- ， (1)当t+1- ，即t- 时， h(t)=f(t+1)=t2+5t-1； (2)当t- t+1，即- t- 时， h(t)= =- ； (3)当t- 时，h(t)=f(t)=t2+3t-5.,已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间0,2上有最小值3， 求实数a的值,变式2-1,【例3】设函数f(x)=ax2-2x+2，对于满足10，求实数a的取值范围,题型三二次函数的综合应用,分析： 分a0，a0，a=0三种情况讨论，并使每种情况下在 (1,4)上最低点函数值或最小值大于或等于零，从而求 得a的取值范围,.,当a=0时，f(x)=-2

7、x+2， f(1)=0，f(4)=-6，不合题意， 综上可得，实数a的取值范围是 .,已知函数f(x)=ax2+bx(a0)满足条件：f(-x+5)=f(x-3)， 且方程f(x)=x有等根 (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域 分别是m，n和3m,3n？如果存在，求出m，n的值； 若不存在，说明理由,变式3-1,解析：(1)f(x)满足f(-x+5)=f(x-3)，则函数f(x)的图象关于 直线x=1对称，故- =1，b= -2a. 又f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，则b=1，,a= ，f(x)= x2+x.,(2)由f

8、(x)=x2+x= (x-1)2+，在区间m，n上有值域 3m,3n， 则3n，n，故mn，函数f(x)在m，n 上为增函数 f(m)=3m，且f(n)=3n， m、n是方程f(x)=3x的两个不等根 -x2+x=3x，即x2+4x=0， x1=0，x2=-4，mn，m=-4，n=0.,链接高考,(2010天津)设函数g(x)=x2-2，(xR)， f(x)= 则f(x)的值域为_ 知识准备： 1. 会解一元二次不等式； 2. 熟练求解二次函数的值域； 3. 理解、掌握分段函数的值域的含义,解析：当x0，(x-2)(x+1)0， x2或x-1， 同理xg(x)-1x2；,当x2或x(-1)2+(-1)+2=2； 当-1x2时，f(x)=x2-x-2， - f(x)0， f(x)的值域为 (2，+),2. (2010全国)直线y=1与曲线