第4章扭转变形.ppt

1、第四章 扭 转,华北电力大学力学教研室,华北电力大学力学教研室,4-1 扭转的概念,一、扭转实例：,华北电力大学力学教研室,材料力学,齿轮传动示意图,圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动,受力特点：,圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用（矢量与轴线一致）,变形特点：,工程中主要承受扭转的构件称为“轴”，实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形形式。,4-2 传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图,、传动轴的外力偶矩,传动轴的转速n ；所传递的功率P (kW),作用在该轮上的外力偶矩Me。,已知：,求：,传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之

2、间的关系：,(P 马力),、扭矩及扭矩图,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。,利用截面法来确定.,扭矩的符号规定,按右手螺旋法则确定:,扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。,Me,例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。,首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩,解：,分别计算各段的扭矩,扭矩图,Tmax = 9.56 kNm 在CA段内,4.78,9.5

3、6,6.37,T 图(kNm),一、扭转试验与假设：,4-3 圆轴扭转时的应力强度条件,1、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变； 2、纵向线倾斜了同一个角度g ，表面上所有矩形均变成平行四边形。,平面假设：圆轴受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。,表面变形特点：,表面正方格子倾斜的角度直角的改变量,切应变,横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向与圆周相切，即与半径垂直。,此处为以横截面、径截面以及与表面平行的面从受扭的等直圆杆表面处截取一微小的正六面体,单元体切应力互等定理,单元体,纯剪切应力状态：,单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状

4、态称为纯剪切应力状态。,二、横截面上的应力公式,物理方面,静力学方面,几何关系,A、几何关系,相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量,剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与切应变成正比。,B、物理方面,？,横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即剪应力沿截面的半径呈线性分布。,C、静力学方面,称为横截面的极惯性矩,令,得,圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：,1、T为横截面上的扭矩 2、Ip为截面参数，取决于截面形状与尺寸 3、为所求点距圆心距离。,发生在横截面周边上各点处。,称为扭转截面系数,最大切应力,令,即,同样适用于空心圆截面杆受扭的情形,圆截面的极惯性矩Ip和扭转截

5、面系数Wp,实心圆截面：,几何性质,4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计,一、扭转失效,塑性材料扭转失效时，先发生屈服，最终沿横截面断裂。,脆性材料扭转失效时，变形很小，最终沿与轴线成45螺旋面断裂。,对于塑性材料：,对于脆性材料：,二、强度条件,等直圆轴,材料的许用切应力,三、圆轴合理截面,例2 实心等截面直轴，d=110mm， (1) 试求截面上距轴线40mm处的点的剪应力。 (2) 若已知=40MPa，试校核轴的强度。,解：,由扭矩图得知T2=9.56kN.m,材料力学,(1)应力计算,(2) 强度计算,材料力学,轴的强度满足,危险横截面在AC段， Tmax=9.56kN.m,例3（同例2

6、）若AD轮互换位置，试校核轴的强度。,解：互调AD轮位置后，扭矩图如图所示:,强度不符合要求。,材料力学,Tmax=15.9 kN.m,讨论:扭矩合理分配,一定使轴上的Tmax最小,例4（同例2）若BD轴改用内外径之比为9:10的空心轴，在保证同样强度条件下，试确定空心轴的内外径d与D；并计算空心与实心轴的材料消耗之比。,解：,由,得,d=0.9D=141mm,材料力学,例,已知： 传动轴为无缝钢 管，D=90mm，t = 2.5 mm，Tmax= 1.5kNm, t=60MPa。 求：校核轴的强度。,解：,计算Wt,切应力,例,已知： 同上例。将空心轴 改为实心轴。要求与空心 轴有相同的强度

7、。Tmax= 1.5kNm。 求：实心轴的直径。,解：,比较空心轴与实心轴,实心轴截面积,比较空心轴与实心轴,实心轴截面积,空心轴截面积,空心轴与实心轴截面积比,例 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度a d 。 试推导弹簧丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。,解：,1、 求簧杆横截面上的内力,分离体的平衡,2、求簧杆横截面上的应力,a) 剪力相应的切应力(假定均匀分布),b)扭矩相应的切应力,当D d 时可略去剪力的影响,当D / d 10时,不可略去剪力的影响,当D / d 10时,不可略去剪力的影响,m=D / d,4. 5 圆轴扭转时的变形,扭转角,扭转变形, 两个横截面绕轴线的相对转角。,微

8、段的扭转角,整体的扭转角,整体的扭转角,等直圆轴且扭矩不变时,GIp 圆轴的抗扭刚度。,台阶轴或扭矩分段变化,二、刚度条件,等直圆杆在扭转时的刚度条件：,对于精密机器的轴,对于一般的传动轴,常用单位：/m,称为单位长度扭转角。,例5（同例2）d=110mm，若各轮之间距离均为 l=2m，G=80GPa， =0.5/m，(1) 计算相邻两轮之间的扭转角和轴两端截面之间的相对扭转角。 (2)试校核轴的刚度；,材料力学,解:(1)变形计算,轴两端截面之间的相对扭转角为：,材料力学,(2) 刚度计算,所以刚度符合要求。,Tmax=9560N.m,例 如图传动轴，n=500r/min，N1=500马力，

9、 N2=300马力， N3=200马力，已知 = 40MPa ，许可单位长度扭转角 =1 /m ，G=80GPa。求：确定AB和BC段直径。,解： 1）计算外力偶矩,2）计算直径,AB段：由强度条件,由刚度条件,BC段：同理，由扭转强度条件得,由扭转刚度条件得,4-6 扭转静不定问题,扭转静不定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。,例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试求杆两端的支反力偶矩。,解： 一次超静定,设想解除固定端B处的约束，代之以约束力偶矩MB.,设固定端A的

10、支反力偶为MA ,方向同MB,变形协调条件：根据原静不定杆的约束情况，B端的扭转角应等于零, 即补充方程为,列出平衡方程：,按叠加原理：,BB、BM分别为MB、Me引起的在杆端B的扭转角。,线弹性时，物理关系(胡克定理)为,代入上式可解得,MA可平衡方程求得 。,例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。,解：,写出独立平衡方程,一次静不定问题。,变形协调条件：原杆两端各

11、自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为,代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。,并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），可见在两杆交界处的切应力是不同的。,4. 7 非圆截面杆扭转的概念,试验现象,对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。,横向线变成曲线,平面假设不再成立，可能产生附加正应力,横截面发生翘曲不再保持为平面,自由扭转,翘曲不受限制。,纵向纤维无伸长,横截面上无正应力,限制扭转,横截面上有正应力。,对实体杆，正应力可忽略。,此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有附加正应力产生,二、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形,一般矩形截面等直杆,ttp时 1、 tmax发生在横截面的长边中点处； 2、横截面周边各点的切应力必定与周边相切，沿周边形成与扭矩同向的顺流； 3、四个角点处t =0 。,矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式,最大切应力（长边中点处）,短边中点处的切应力,单位长度扭转角：,相当极惯性矩,扭转截面系数,其中,a、b、n 与 相关的因数,狭长矩形截面杆自由扭转,特点： 1、沿长边各点的切应