第1节空间几何体的结构三视图和直观图

1、立体几何第1节空间几何体的结构、三视图和直观图2021新亮剑高考总复习第八章1磨剑课前自学目录CONTENTS2悟剑课堂精讲悟剑课堂精讲磨剑课前自学目 录 磨剑课前自学高考动态知识3拓展知识查缺补漏目 录查缺补漏高考动态知识拓展知识最新考纲考向分析1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结空间几何体、三视图是培构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简养学生空间想象能力的一单物体的结构.个很好的载体,有单独考2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、查的,如几何体的识别,求圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别距离、截面面积等,也有上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法与体积、表面积结合考查画

2、出它们的直观图.的.三视图主要考查以三3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图为背景的空间几何体视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式的结构特征4目 录拓展知识知识查缺补漏高考动态一、空间几何体的结构特征查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录二、空间几何体的三视图1. 三视图的形成与名称空间几何体的三视图是用 平行投影 得到的,三视图包括 正（主）视图、 侧（左）视图、 俯视图.2. 三视图的画法(1) 在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.(2) 三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从几何体的 正前方、 正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线.查缺补漏拓展知识知识

3、高考动态目 录三、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用 斜二测画法来画,基本规则是:1. 原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x轴、y轴的夹角为 45( 或135), z轴与 x轴、y轴所在平面垂直.2. 原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中 还是平行于坐标轴的线段.平行于x 轴和 z 轴的线段长度在直观图中 保持不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中 变为原来的一半 .7查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录1. 台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2. 三视图的基本要求(1) 长对正,宽相等,高平齐.(2) 在绘制三视图时,分界线和可见

4、轮廓线都用实线画出,被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来,即 “眼见为实,不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.3. 斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”:坐标轴的夹角改变;与 y 轴平行的线段的长度变为原来的一半;图形改变.“三不变”:平行性不变;与 x 轴,z 轴平行的线段长度不变;相对位置不改变.8目 录高考动态知识拓展知识查缺补漏9【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“”)(1) 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )(3) 用斜二测画法画水平放置的A 时,若A

5、的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且A=90, 则在直观图中,A=90.( )(4) 正方体、球、圆锥各自的三视图中,三视图均相同.( )(5) 夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形,这样的几何体一定是棱台.答案解析()查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录解(2) 错误.棱锥必(3) 错误.在直观图中,A 的A=45或A=135.(4) 错误.圆锥的正(主)视图与侧(左)视图相同,但与俯(5)错误.棱台必须满足所有侧棱的延长线交于一点.10查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录【基础自测】1. 如图所示,三棱台 ABC-A1B1C1 中,沿面 A1BC 截去三棱锥 A1-ABC,则剩余部分是(

6、B).A.三棱锥B.四棱锥C.三棱台D.四棱台答案解析解析由题意知,剩余部分是四棱锥 A1-BB1C1C.故选 B.11查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录.如图所图,则这个几何体是B.三棱锥.四棱锥D.四棱答案解析解析根据该几何体的三视图,分析可知该几何体为如图所示的三棱柱.12查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录3. 一水平放置的平面四边形 OABC,用斜二测画法画出它的直观图 OABC如图所示,此直观图恰好是一个边长为 1 的正方形,则原平面四边形 OABC22的面积为 .解析因为直观图的面积是原图形面积的 2,且直观图的面积为 1,所以原图4形的面积为 2 2.答案解析13知识高考动态目

7、录【易错检测】4. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系拓展知识 查缺补漏O-xyz 中的坐标分别是答案解析14(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正(主)视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正(主)视图为(A).查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录解析如图所示,在空间直角坐标系中,易知O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点,棱 BC 在 zOx 平面的投影是看得见的,而 OA 的投影即它本身,在投影面中是看不见的.15答案解析查缺补漏拓展知识知识高考动态目 录5. 如图所示,在正方体 AB

8、CD-A1B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为 1.解析 三棱锥 P-ABC 的正(主)视图与侧(左)视图为底边和高均相等的三角形,故它们的面积相等,面积的比值为 1.1617悟剑课堂精讲磨剑课前自学目 录悟剑课堂精讲考点探究素养达成高考真题目 录考点探究素养达成高考真题考点 1空间几何体的结构特征例 1(1)下列叙述中,正确的个数是(B ).以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;用一个平面去截圆锥

9、,一定能得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3(2)下列关于棱台的说法中,正确的个数为(C ).答案解析所有的侧棱交于一点;只有两个面互相平行;上下两个底面全等;所有的侧面中不存在两个面互相平行.A.1B.2C.3D.421分析(1)根据旋转体的几何特征即可判断正误.(2)利用棱台的定义与性质判断选项的正误即可.解析(1)错误,以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥,以斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥;错误,以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;正确;错误,用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台.故选 B. (

10、2)由棱台的定义可知,所有的侧棱交于一点,正确;只有上、下底面互相平行,正确;上下两个底面相似而非全等,不正确;所有的侧面中不存在两个面互相平行,正确.故选 C.方法总结：解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧:(1)熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析,要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.【针对给出下列命题:棱柱的侧棱都相等,侧面都是全存在每个面都是直角三角形的四面体;棱台的侧棱延长后交于一点.解析答案其中正确命题的序号是 .目 录考点探究素养达成高考真题

11、解析定全等;正确,如图,正是直角三角形;正确,由棱台的概念目 录考点探究素养达成高考真题考点2三视图及其应用考向 1:根据几何体画三视图例 2 如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点分别位于一个长方体的四个顶点上,则四面体 ABCD 的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是(B).答案解析A.B.C.D.28分析根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.解析正(主)视图是边长为 3 和 4 的矩形,其对角线左下到右上是实线,左上到右下是虚线,因此正(主)视图是;侧(左)视图是边长为 5 和 4 的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧(左)视图是;俯视图是边长为 3 和 5 的

12、矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此俯视图是.故选 B.考向 2:由空间几何体的三视图还原直观图例 3 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为(B). A.3 2B.2 3C.2 2D.2答案解析解析由三视图知,可把四棱锥放在一个正方体内部,四棱锥为 D-BCC1B1,1最长棱为 DB1,且 DB1= 2 + B2 + B2= 4 + 4 + 4=2 3.考向 3:完善三视图例 4 (2020 届唐山市摸底考试)如图所示的是一个空间几何体的正(主)视图和俯视图,则它的侧(左)视图为(A).答案解析分析根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形状,然后判断.

13、解析由正(主)视图和俯视图可知,该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的,结合正(主)视图的宽及俯视图的直径可知侧(左)视图应为 A.故选 A.方法总结：1.由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图,明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为直观图.2.由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形状,然后再找其剩下部分三视图的可能形状.如果是 选择题,也可将选项逐项代入检验,再看给出的部分三视图是否符合.目 录考点探究素养达成高考真题【针对训练 2】1. 如图所示,将一个正三棱柱 ABC-DEF截去一个三棱锥 A-BCD,得

14、到几何体 BCDEF,则该几何体的正(主)视图是(C).解析由于三棱柱为正三棱柱,故平面 ADEB平面 DEF,DEF 是等边三角形,所以CD 在后侧面上的投影为 AB 的中点与 D 的连线,CD 的投影与底面不垂直.故选 C.答案解析302. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥最长棱的棱长为( C). A.1B. 2C. 3D.2解析由三视图知,该四棱锥的直观图如图所示,其中 PA平面ABCD.又 PA=AD=AB=1,且底面 ABCD 是正方形,所以 PC 为最长棱. 连 接 AC, 则 PC= 2 + P2 = ( 2)2 + 1= 3.目 录考点探究素养达成高考真题3. 将一个长方体

15、沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正31答案解析(主)视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为(解析 由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.从左侧观察直观图,可知截面体现为从左上到右下的虚线.故选 B.B).目 录考点探究素养达成高考真题考点 3空间几何体的直观图例 5 有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),ABC=45, AB=AD=1,DCBC,则这块菜地的面积为.2+ 22答案解析32目 录考点探究素养达成高考真题解析过点 A 作 AEBC 于点 E(图略),在 RtABE 中,AB=1,AB

16、E=45,BE= 2.2而四边形 AECD 为矩形,AD=1,EC=AD=1.BC=BE+EC= 2+1.2由此可还原直观图如图所示.在原图形中,AD=1,AB=2,BC= 2+1,2且 ADBC,ABBC.这块菜地的面积为 S=1(AD+BC)AB=1 1 + 1 + 2 2=2+ 2.222233目 录考点探究素养达成高考真题变式设问若本例改为“A1B1C1 是边长为 a 的正三角形,且A1B1C1 是ABC 的直观图”,则ABC 的面积为多少?解析如图,在A1D1C1 中,由正弦定理得=,得 x= 6a,S=1a 6a= 6a2.sin45 sin 120解析2ABC2234目 录考点探

17、究素养达成高考真题【针对训练 3】已知等腰梯形 ABCD,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2,下底 AB=3,以下底所在直 2线为 x 轴,则由斜二测画法画出的直观图 ABCD的面积为 2.解析如图所示,作出等腰梯形 ABCD 的直观图.因 为 OE= ( 2)2-1=1, 所 以 OE=1,EF= 2.答案解析24则直观图 ABCD的面积 S=1+3 2= 2.24235目 录高考真题考点探究素养达成直观想象构造法解三视图问题的三个步骤三视图问题(包括求几何体的表面积、体积等)是高考的热点.由三视图还原几何体是解决这类问题的关键,其主要步骤是:第一步,先画长(正)方体, 在长(正)方体中画

18、出俯视图;第二步,在三个视图中找直角;第三步,判断直角位置,并向上(或向 即可.39例如图所示的是一个四面体的三视图,三个三角形均是腰长为 2 的等腰直角三角形,还原其直观图.解析第一步,根据题意,画出正方体, 在正方体内画出俯视图,如图.第二步,找直角,在俯视图、正(主)视图和侧(左)视图中都有直角.解析第三步,将俯视图的直角顶点向上拉起,与三视图中的高一致,连线即可.所求几何体为三棱锥 A-BCD,如图.【突破训练】某几何体的三视图如图所示,则该几何体中面积最大的侧面的面积为(B).A. 22B. 52C. 62D.3答案解析解析由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,平面 AED平面 B

19、CDE,四棱锥 A-BCDE 的高为 1,四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形,则 S 四边形BCDE=1,SAED=111=1,SABC=SABE=11 2= 2,SACD=11 5= 5, 故 选 B222222考点探究素养达成高考真题目 录1.(2018 年全国卷)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如右图.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A,圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为( B ). A.2 17B.2 5C.3D.2答案解析40解析由题可得几何体结构及 M,N 的位置如图所示.将圆柱侧面沿过点 M 的母线展开,则线段 MN 就是最短路径,所以最短路径为 22 + 42=2 5.41考点探究素养达成高考真题目 录2.(2018 年上海卷)九章算术中,称