8 3 3 函数展开为幂级数举例

1、8.3.3 函数展开为幂级数举例间接展开法:(1) 用已知展开式(2) 逐项求导和逐项积分常用展开式11e xx 2xn= 1 + x + L + L， (- x +)2!n!111x 2n+1x 3x5- L + (-1)nsin x = x -+ L(2n + 1)!3!5!(- x +)= 1 + a x + a (a - 1) x 2 + L + a (a - 1)L(a - n + 1) xn(1 + x)a+ L2!n!(-1 x 1)(-1 x 1)1= 1 + x + x2 +L+ xn-1 +L,特别:1 - xf ( x) = ln(1 + x)例1.将展开成x的幂级数1f

2、 ( x) =解Q1 + x1= 1 - x + x2 - x3 + L + (-1)n xn+ L(-1 x 1)而1 + x将上式逐项积分 (从 0 到 x)，得xn+1x 2x 3x4nln(1 + x) = x -+-+ L + (-1)+ Ln + 1234(-1 x 1)由于上式右端在 x = 1收敛且ln(1 + x) 在 x = 1 处有定义且连续，x = 1也成立所以上述展开式对1n121314n 1n + 1n-1x = 1时ln 2 = 1 -+-+ L + (-1)+ L=(-1)n=11f ( x) =例2.将展开成 x 的幂级数1 + x 21= 1 + x + x

3、 2 + L+ xn + L(-1 x 1)解由于1 - x将 x 换成- x 2，得1= 1 - x 2 + x 4 - L+ (-1)n+ L(-1 x 1)x 2n1 + x 2注. 上式两边从 0x到x 3积分，可得x 2n+1x5narctan x = x -+- L + (-1)+ L2n + 135(-1 x 1)= n=0p4(-1)n 1当 x = 1时2n + 1将f ( x) = sin x cos 2 x展开成x的幂级数.例3.f ( x) = sin x cos 2 x= 1sin 3 x - sin x解:2(3 x)2n+1(2n + 1)!x2n+1(2n +

4、1)!+= 11-( - 1)( - 1)nn22 n=0n=0(32n+1- 1) x2n+1 ,+ = 1 ( - 1)n- x +(2n + 1)!2n=0x2n+111【sin x = x -+x5 -L+ (-1)n + L 】x3(2n + 1)!3!5!例4. 求arcsin x 的马克劳林展开式Q(arcsin x)= 1= (1 - x2 )- 12解:1 - x 2+ L + (2n - 1)! x 2n= 1 + 1 x 2(-1 x 1)+ L2(2n)!(2n - 1)!1x 2n+1x 3arcsin x = x + L + L2 3(2n)!(2n + 1)(-1

5、 x 1)思考：如何证明端点的收敛性？问题:若基点不为零，如何展开?将函数 f ( x) = sin x 在基点 x= p 的泰勒级数例10p4t = x -解法一:变换,令4由于sin x = sin(t + p )2 (cos t + sin t)=42cos t = 1- 1 t 2 + 1 t 4 -Lsin t = t - 1 t3 + 1 t5-L2!4!3!5!2 1+ t - 1 t 2 - 1 t 3+ 1 t 4 + 1 t 5 -Lsin x =22!3!4!5!(- t +)pp4p4p4212!13!14!回代=1+ (x -) -(x -)-(x -)+(x -+2

6、34)241 (x - p )5 -L(- x +)5!4将函数 f ( x) = sin x 在基点 x= p 的泰勒级数例104解法二:变形由于sin x = sinp+ ( x - p )= 2 cos( x - p ) + sin( x - p ) 44244且cos( x - p ) = 1 - 1 ( x - p )2+ 1 ( x - p )4 - L(- x +)42!44!4sin( x - p ) = ( x - p ) - 1 ( x - p )3 + 1 ( x - p )5- L (- x +)443!45!4sin x = 2 1 + ( x - p ) - 1 (

7、 x - p )2 - 1 ( x - p )3 + 1 ( x - p )4 +242!43!44!4 1 ( x - p )5 - L(- x +)5!41将函数 f ( x) =展开成( x - 1) 的幂级数例 2解x 2+ 4 x + 31 1 1 1 1 12( x + 3)由于 f ( x) =4-=2( x + 1)- x-1 2 x-1 4( x + 1)( x + 3)1 +21 +1x - 1 x - 1 2 x - 1 3n x - 1 n而= 1 -+ - + L + (-1)+ L1 + x-1 22222= (-1)n ( x - 1)n(-1 x - 1 1即-

8、 1 x 3)2n2n=011 + Lx - 1 x - 1 2 x - 1 3n x - 1 n=1 -+ - + L + (-1)2(1 + x-1)2 44444(-1)n ( x - 1)n(-1 x - 1 11214=即- 3 x 5)22n4n=0(-1)n ( 1 - 1)( x - 1)nf ( x)=(-1 x 3)22n+12nn=011e xx 2xn= 1 + x + L + L， (- x +)2!n!115!1x 2n+1x 3x5- L + (-1)nsin x = x -+ L(2n + 1)!3!(- x +)(1 + x)a= 1 + a x + a (a - 1) x 2+ L + a (a - 1)L(a - n + 1) xn+ L2!n!(-1 x 1)+ L 12! 14!n 1 (2n)!242ncos x = 1 -x+- L + (-1)xx(- x +)+ L(-1 x 1)(-1 x 1)xn+1x 2x 3x4nln(1 + x) = x -+-+ L + (-1)n + 12341= 1 - x 2 + x4 - L + (-1)