第七章高数课件第七章7 6曲线

1、空间曲线第六节一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影四、小结一、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.F ( x, y, z) = 0zG( x, y, z) = 0空间曲线的一般方程S1S2C特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.oyx x2 + y2 = 1例1方程组表示怎样的曲线？2 x + 3 y + 3z = 6+ y2 = 1解x2表示圆柱面，2x + 3 y + 3z = 6表示平面， x2 + y2 = 12 x + 3 y + 3z = 6交线为椭圆.z =- x2- y2a2方

2、程组例2表示怎样的曲线？a2a( x - 2)+ y=224z =- x2 - y2a2解上半球面,a2a2( x -)+ y=22圆柱面,4交线如图.二、空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程当给定t = t1 时，就得到曲线上的一个点( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全部点. x = x(t ) y =y(t )z = z(t )如果空间一点M 在圆柱面x 2 + y2 = a 2上以例 3角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v 都是常数），那么点M 构成的图形叫做螺旋线试建立其参数方程z取时间t为参数，动点从A点出发，经过t

3、时间，运动到M点M 在xoy 面的投影M ( x, y,0)解Mow txAyM 螺旋线的参数方程x = a cosw t y = a sinwt z = vt螺旋线的参数方程还可以写为 x = a cosq y = a sinqz = bqb = v )(q = w t,w螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比q :q0 q0 + a ,bq0 bq0+ ba ,z :即= 2p,上升的高度螺距h = 2bp三、空间曲线在坐标面上的投影F ( x, y, z) = 0设空间曲线的一般方程：G( x, y, z) = 0消去变量z后得： H( x, y) = 0曲线关于xoy 的投影柱

4、面投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影柱面投影曲线空间曲线在xoy 面上的投影曲线H ( x, y) = 0z = 0类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影yoz 面上的投影曲线,xoz面上的投影曲线,R( y, z) = 0T ( x, z) = 0 x = 0 y = 0 x2 + y2 + z2= 1例4 求曲线1z =在坐标面上的投影.2（1）消去变量z后得解+ y2 = 3 ,x24在xoy面上的投影为= 3x+ y224,z = 0（2）因为曲线在平面 z = 1 上，2所以在 xoz 面上的投影为线段.z = 13|

5、 x |2 ,;2 y = 0（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段.z = 13| y |2 ,.2 x = 0例5 求抛物面y2 + z 2 = x 与平面 x + 2 y - z = 0的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.截线方程为解 y2 + z2 = x x + 2 y - z = 0如图, x2 + 5 y2+ 4 xy - x = 0（1）消去z 得投影,z = 0 x2 + 5z2- 2 xz - 4 x = 0y（2）消去 得投影, y = 0 y2 + z2 + 2 y - z = 0（3）消去x 得投影. x = 0补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体曲面设一

6、个立体,由上半球面 z =4 - x2 - y2例6和 z =3( x2 + y2 )锥面所围成,求它在 xoy面上的投影.半球面和锥面的交线为解z =4 - x2 - y2 ,3( x2 + y2 ),C : z =消去 z 得投影柱面 x2 + y2 = 1,则交线C 在 xoy 面上的投影为 x2 + y2 = 1,一个圆,z = 0.所求立体在 xoy 面上的投影为+ y2 1.x2四、小结空间曲线的一般方程、参数方程 x = x(t )F ( x, y, z) = 0 y =y(t )z = z(t )G( x, y, z) = 0空间曲线在坐标面上的投影H ( x, y) = 0R

7、( y, z) = 0T ( x, z) = 0z = 0 x = 0 y = 0思考题+ x 2= z 与抛物柱面求椭圆抛物面2 y 22 - x 2= z的交线关于xoy 面的投影柱面和在xoy面上的投影曲线方程.思考题解答2 y2+ x2 = z,交线方程为2 -x= z2+ y2 = 1,x2消去z 得投影柱面 x2 + y2 = 1xoy.在面上的投影为z = 0练习题一、填 空题：+ 9 y2= 10z 与yoz 平面的交线是 ；+ y2 + z 2 = 16 , x 2 + z 2 - y2 = 0，且1、曲 面x 22、通 过曲线2 x 2 母线平行于y 轴的柱面方程是 ；+

8、z 2 + 3 yz - 2 x + 3z - 3 = 0, y - z + 1 = 0在线x 23、曲 xoz 平面上的投影方程是 ； y = 5 x + 14、方 程组 y = 2 x - 3 在平面解析几何中表示 ； x22+ y= 15、方 程组 49在平面解析几何中表示 y = 3 ，在空间解析几何中表示 ；6 、旋转抛物面z = x 2+ y2 (0 z 4) 在xoy 面的投影为 ， 在yoz 面的投影为 ， 在zox 面上的投影为 .二、画 出下列曲线在第一卦限的图形：z =4 - x 2 - y 21、 x - y = 0 x 2 + y 2 = a 22、x+ z 2 =

9、a 22 x 2 + y 2+ z 2= 9三、将 曲线 y = x化为参数方程 x = a cosq四、求 螺旋线 y = a sinq 在三个坐标面上的投影曲线z = bq的直角坐标方程 .z =- x 2 - y 2a 2五、求 x 2由+ y 2上半球面,柱面- ax = 0 及平面z = 0 所围成的立体， 在xoy 面和xoz 面上的投影 .练习题答案 y2= 10 z一、1、- z 2= 16,3 x 2 + 2z 2= 16 ； 2、3 y29 x = 0 x2 + 4z 2 - 2 x - 3 = 03、 y = 0；4、两直线的交点,两平面的交线；x2 + y2= 1 与5、椭圆与其一切线的交点,椭圆柱面其切平面y = 3的交线；49+ y2 4, y2 z 4, x 2 z 4.6、x 2 x