数学常见几何辅助线.ppt

1、数学常见几何辅助线作法,史国彦,人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线加一倍。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 等积式子比例换，寻找相似很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，弦高公式是关键。,初中数学常见几何辅助线作法歌诀,半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔

2、细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。,.连结,目的:构造全等三角形或等腰三角形,适用情况:图中已经存在两个点X和Y,语言描述:连结XY,注意点:双添-在图

3、形上添虚线 在证明过程中描述添法,.连结,典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,A,C,B,D,1.连结AC,构造全等三角形,2.连结BD,构造两个等腰三角形,.连结,典例2:如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证:点M是CD的中点.,A,C,B,D,连结AC、AD,构造全等三角形,E,M,.连结,典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD 的中点，求证：AMB ANC,A,C,B,D,连结AD,构造全等三角形,N,M,.连结,典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长.,A,C,B,D,连结BD

4、,构造全等三角形,O,目的:构造直角三角形,得到距离相等,适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN,语言描述:过点X作XYMN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.角平分线上点向两边作垂线段,.角平分线上点向两边作垂线段,典例1:如图,ABC中, C =90o,BC=10,BD=6, AD平分BAC,求点D到AB的距离.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,E,.角平分线上点向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中, C =90o,AC=BC, AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了: 全等的直角三角

5、形且距离相等,B,E,思考: 若AB=15cm,则BED的周长是多少?,.角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EFBC,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,E,.角平分线上点向两边作垂线段,典例4:如图,OC 平分AOB, DOE +DPE =180o, 求证: PD=PE.,A,C,D,过点P作PFOA,PG OB,构造了: 全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,E,P,G,O,目的:构造直角三角形,

6、得到斜边相等,适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X,语言描述:连结XM和XN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.垂直平分线上点向两端连线段,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,适用情况:图中已经存在一条线段MN和垂直平分线上一个点X,语言描述:连结XM和XN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.中线延长一倍,1.AD是ABC的中线，,.中线延长一倍,A,B,C,D,E,延长AD到点E，使DE=AE， 连结CE.,.角平分线上点向两边作垂线段,2.如图,梯形中, A= D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.,延

7、长BE和CD交于点F,构造了: 全等的直角三角形,F,思考: 你从本题中还能得到哪些结论?,1遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。,1.如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，DEB=60，求CD的长。,2.已知O中，M、N分别是不平行的两条弦AB和CD的中点，且AB = CD， 求证：AMN=CNM,2遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周

8、角的性质得到直角或直角三角形。,3.如图，在O中，AB是直径， ，则 =,4.如图，AB是O的直径，弦CD平分ACB，若BD=10cm，则AB=_，BCD=_,3遇到90度的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。,已知：如图，点D的坐标为(0，6)，过原点O，D点的圆交x轴的正半轴于A点圆周角OCA=30，求A点的坐标,4遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：可得等腰三角形； 据圆周角的性质可得相等的圆周角。,6.已知：如图3，AB是O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2

9、DE，E=18，求C及AOC的度数,7.已知：如图，半圆O的直径AB=12cm，点C，D是这个半圆的三等分点求CAD的度数及弦AC，AD和围成的图形(图中阴影部分)的面积S,8.已知：如图，ABC内接于O，AM平分BAC交O于点M，ADBC于D求证：MAO=MAD,5遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OAAB，得到直角或直角三角形。,9.已知：如图，AB为O的直径，PQ切O于T，ACPQ于C，交O于D (1)求证：AT平分BAC； (2)若求O的半径,6遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段

10、。 作用：若OA=r，则l为切线。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） 作用：只需证OAl，则l为切线。 （3）有遇到圆上或圆外一点作圆的切线,10.已知：如图，AB是O的直径， AB=AC,过点D作DEAC，垂足为E.求证：DE为O的切线；,11.已知：如图，P是AOB的角平分线OC上的点PEOA于E以P点为圆心，PE长为半径作P求证：P与OB相切,7 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系； 垂直关系； 全等、相似三角形。,.已知：如图，PA，PB，DC分别切O于A，B

11、，E点(1)若P=40，求COD； (2)若PA=10cm，求PCD的周长,8遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 作用：利用内心的性质，可得： 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 内心到三角形三条边的距离相等。,已知：如图，O是RtABC的内切圆，C=90 (1)若AC=12cm，BC=9cm，求O的半径r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求O的半径r,已知：如图，ABC的三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r求ABC的面积S,12遇到两圆相切时 常常作连心线、公切线。 作用：利用连心线性质； 13遇到三个圆两两外切时 常常作每两个圆的连心线。 作用：可利用连心线性质。,已