北大2014高等代数部分试题解答思路_W

1、 本文由 SCIbird 编辑整理北大 2014 高等代数部分试题解答思路SCIbird1. 令2013f (x) = (x i)2 + 2014i=1问多项式f (x ) 是否在有理域内可约？说明理由。猜想f (x )不可约，但不会证明。最初发现2014= 21953，进而试图证明f (x ) 除最高项外，所有系数都是偶数，然后取p = 2 应用爱森斯坦判别法。但发现这个猜想不成立，因为这意味着f (1) 是奇数，但f (1) = 2014 是偶数。多次尝试没有 成功，放弃。感觉就难度而言，这道题不应该放到第一位。 2. 如果MNMN 为零矩阵，那么NMNM 是否为零矩阵？说明理由。结论是的

2、， NMNM 不一定是零矩阵。质数同学给出了反例： 000000101001 0,N = 0M =0010直接验证可知MNMN 为零矩阵，但NMNM 不是零矩阵。 3. 除了单位矩阵为，是否存在其它n 阶埃尔米特矩阵M ，满足：4M 5 + 2M 3 +M = 7En结论是不存在。证明的关键利用了如下结论：埃尔米特矩阵M 的最小多项式m(x ) 的根都是实根。令f (x ) = 4x 5 + 2x 3 +x 7 ，则f (1) = 0 . 容易证明 f (x ) = 20x 4 + 6x 2 +1 0这说明f (x ) 是严格单调递增的，故f (x ) 有惟一的单实根x =1，因此 m(x )

3、 = x 1.故M = En .评注：本题有些分析味道，利用了函数单调性。证明f (x)= 20x4 +6x2 +1 0可 本文由 SCIbird 编辑整理利用判别式法。4. 设V 是n 维向量空间，线性变换A 的最小多项式次数是n .(1) 证明：存在非零向量 ，使得, A,L, An1 是V 的一组基；(2) 任何与A 可交换的线性变换，均可表示成A 的多项式。证明的关键是“考虑非零向量 的最小多项式”。即考虑使得p (A) = 0 的最小多项式p (x ) ，其中向量 是给定的。设线性变换A 的最小多项式为m (x ) ，类似的证明可知p (x ) 是m (x ) 的因式。于是当 遍历V

4、 中所有非零向量时，只能得到有限个p (x) ，不妨记作p1(x) ,L, pk (x) . 定义 Vi = V : pi (A) = 0显然V V1 LVk .但一个熟知的结论是，若V1 ,L,Vk 都是V 的真子空间，则V V1 LVk 不成立。换句话说，有限个真子空间的并集不能覆盖住整个V . 于是必有某个下标 j 使得Vj =V ，此时pj (x ) = m (x ) 且max deg p (x ) = deg m (x ) .(1) 用反证法。假设任取非零向量 ，向量组, A,L, An1 都是线性相关的。则所有非零向量 对应最小多项式p (x ) 次数都不超过n 1，这与线性变换A

5、(2)前面证明了存在非零向量 ，使得, A,L, An1 是V 的一组基。所以任取非零向量v V ，存在多项式f (x) ，使得v = f (A) . 任取线性变换B ，满足 AB = BA . 则存在多项式g (x ) ，使得B = g (A) . 我们只需证明B = g (A) .任取非零向量v V ，存在多项式f (x ) ，使得v = f (A) .所以 Bv = Bf (A) = f (A)B = f (A)g (A) = g (A)f (A) = g (A)v由v 的任意性可知B = g (A) . 即任何与A 可交换的线性变换，均可表示成A 的多项式。评注：xida在高等代数葵花

6、宝典（考研攻略）中对,A,L,An1这类“循环类”问题进行了更详细的论述，推荐大家去看一看。 本文由 SCIbird 编辑整理5. 设V 是所有n阶复矩阵所组成的向量空间，求所有形如MNNM 矩阵所组成向量空间的维数。记所有形如MN NM 型矩阵所组成向量空间为W ，则dimW = n 2 1. 证明的关键是利用迹公式tr (MN ) = tr (NM ) ，于是tr (MN NM )= 0，进而将问题转化为对“迹零矩阵”的研究。 令U =AV :tr (A) = 0，则U 是V 的子空间（真子集），故dimU n 2 1.利用迹公式tr (MN NM ) = 0 可知W U ，所以dimW

7、n 2 1.考察V 的标准基底Eij ，其中矩阵Eij 在第i 行、第 j 列处为 1，其它地方为 0. 下面利用矩阵Eij 来构造子空间W 的基底： 直接计算表明，当i j 时，恒有 Eij = Eik Ekj Ekj Eik2于是满足i j 的Eij 有n n 个。 另一方面，当m = 2, 3,L, n 时，有 E11 Emm = E1m Em1 Em1E1m这样的E11 Emm 有n 1个。 上述的E (i j )和E E(m =2, 3,L,n )共n2 1个，且它们是线性ij11mm无关的。这就证明了dimW = n2 1.评注：本题有一定的难度。首先，不难将问题转化为对“迹零矩阵

8、”的研究U = A V :tr (A) = 0容易证明dimU = n 2 1 ，比如构造基底Eij (i j )和E11 Emm (m = 2, 3,L, n )这n 2 1个迹零矩阵都是线性无关的。关键是证明上述矩阵都能表示成MN NM的形式。这需要一些技巧，主要是利用矩阵元素的乘法关系cij = aikbkjk =1n由此观察到Eij = Eik Ekj ，接下来的构造就自然了。需要说明的是W 的基底构造方法不唯一。6. 欧氏空间V 中，对称线性变换A 称为是“正的”，若 V 恒有( , A) 0 本文由 SCIbird 编辑整理成立，且等号当且仅当 = 0 时成立。(1) 证明线性变换

9、A 是正的，则A 可逆；(2) 证明若线性变换B 是正的， AB 也是正的，则B1 A1 也是正的；(3) 证明若线性变换A 是正的，则存在正的线性变换B ，满足A = B2 .为叙述方便，直接将线性变换A 视作方阵A . 题中说明A 是对称矩阵，所以A 的特征值都是实数。没明白命题时为什么故弄玄虚，“正的”不就是正定性吗？几个小问都是常见结论。为证明第(1)问，只需证明A 的特征值都是正数即可。为证明第(2)问需要用到这样一个结论： 设A 与 B 为n 阶实对称矩阵且A 是正定矩阵，则存在可逆矩阵P 使得PTAP = E , P BTP = diag ,L, （对角矩阵）。 1n北大在 20

10、12 年考过这道题，证明见龙凤呈祥同学的解答。前面已经证明了A 与B 的特征值都是正数，所以由上面的结论可知 PT(AB)P = diag1 ,L,1 1n由AB 的正定性可知1i 0，即对角线上的元素都是正数。 不难证明B1 , A1 都是对称矩阵，所以B1 A1 也是对称矩阵。又 PTAP = E , PTBP = P1A1(P1)T = E , P1B1 (P1 )T =diag1/ ,L,1/ 1n由此可知 1=diag1,L,1nP1 (B1 A1 )(P1 )T11对角线上元素都是正数，故B1 A1 是正定矩阵。 第(3)问的证明实质是对角线开平方。证明方法与上面大同小异。实对称矩阵A 可 相似对角化，即存在正交矩阵P ，使得 1P1AP = On 构造矩阵 本文由 SCIbird 编辑整理11OPB = P