数学人教版九年级上册24.1垂直于弦的直径.pptx.pptx

1、能记住圆是轴对称图形，并能正确说出圆的对称轴. 能记住垂径定理及推论，并能运用它们解决相关的证明、计算、作图等问题.,24.1 圆的有关性质,学习目标,1,第2课时 垂直于弦的直径,什么是轴对称图形？ 我们学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形,回 顾,线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形,正方形,互动课堂(探究与合作),探究点1：圆的对称性,1.动手做一做： 剪一个圆形纸片，用对折的方法，在纸片上找出圆心O，并画出圆的任意一条直径CD，A是O上任意一点（不与点C、D重合），过点A作AA1CD，交O于点A1，垂足为E，连接O

2、A、OA1.,3,在OAA1中，OA=OA1,AA1CD，AE=A1E. 即CD是AA1的 .这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A1,因此O关于直线 对称.,在对折找圆心的过程中，我们发现：任意折痕（即 圆的直径所在的直线）两旁的部分 完全重合.,4,能够,垂直平分线,CD,圆是 图形，任何一条直径所在的 都是它的对称轴，圆有 条对称轴.,轴对称,直线,无数,2.通过上面的探究，你能得出结论：,探究点2：垂径定理,6,2.质疑1：若AB是直径，上述结论还成立么？,成立，当AB是直径时，OA=OB，CDAB，所以CD是AB的垂直平分线，所以 ， ,定理中的弦为直径时，结

3、论仍然,垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且 平分弦所对的两条,平分,弧,成立,3.从上面的证明我们知道：,注意：垂径定理中的垂径可以是、 半径或过圆心的直线或，其本 质是“过圆心”. 垂径定理也可理 解为，如果一条直线，它具有两个性 质：经过； 于弦. 那么这条直线就 这条弦， 弦 所对劣弧和优弧.,7,垂直,直径,线段,圆心,平分,平分,检测反馈,解析：由垂径定理可知B、D均成立；由OCEODE可得A也成立不一定成立的是OE=BE故选C,O,C,D,A,B,E,1.如图所示，AB是O的直径，CD是弦，CDAB于点E，则下列结论不一定成立的是（ ） A.COEDOE B.CEDE C.OEBE

4、D.,C,探究点3,结论改为：垂直于弦，平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧. 这个命题正确吗？,.垂径定理的条件和结论分别是什么？,条件：,结论：,平分弦，平分弦所对的劣弧，平分弦所对的优弧.,过圆心，垂直于弦.,质疑2.条件改为：,过圆心，平分弦.,10,探究点4：垂径定理的推论,1.如图，在O中，CD是直径，AB是弦（不是直径），AB、CD交于点E，且AE=BE，在O中，连接OA、OB，则OAB是 三角形， AE=BE， CD AB，即CD是垂直于弦的直径， ，,等腰,11,质疑3：如果上图中的AB是直径，上述结论成立么？,不一定成立，如图所示，当AB是直径时，CD平分AB，但CD不垂直于

5、AB，结论不成立.,通过上面的证明，你能得出结论：,垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的 直径于弦，并且弦所对的两条弧.,垂直,平分,垂径定理的推论中的弦一定要 为 ，否 则命题就不一定成立.,非直径, 直径过圆心 平分弦 （不是直径）, 垂直于弦 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1, 直径过圆心 平分弦所对优弧, 平分弦 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,垂径定理的推论1,（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧, 垂直于弦 平分弦, 直径过圆心 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧,（3）弦的

6、垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,垂径定理的推论1, 垂直于弦 平分弦所对优弧, 直径过圆心 平分弦 平分弦所对的劣弧,推论1的其他命题., 垂直于弦 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 平分弦 平分弦所对优弧,（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧, 平分弦 平分弦所对优弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对的劣弧,（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 , 平分弦 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦所对优弧, 平分弦所对优弧 平分弦所对的劣弧, 直径过圆心 垂直于弦 平分弦,（6）平分弦

7、所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦,18,归纳总结：综合以上探究可知：,如果一条直线具有：经过；垂直 ；平分弦（被平分的弦不是 ）； 所对的优弧； 所对劣弧.这五条性质中的任意两条，那么必然具备其余三条性质.,圆心,于弦,直径,平分弦,平分弦,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧,平分弦所对的两条弧的直线

8、经过圆心，并且垂直平分弦,3垂径定理的推论,垂径定理的推论2,圆的两条平行弦所夹的弧相等,M,O,A,B,N,C,D,证明：作直径MN垂直于弦AB, ABCD 直径MN也垂直于弦CD,两条弦在圆心的同侧,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论2有这两种情况：,考考你,探究案p147第6题,垂径定理三角形,d + h = r,r,有哪些等量关系？,在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量,经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,4 解决有关弦的问题,1.如图，已知O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ） A.6 B.5

9、 C.4 D.3,B,解析：过O作OCAB于C，OC过O， AC=BC= AB=12，在RtAOC中， 由勾股定理得： 故选B.,2 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点 求证：ACBD,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE AECEBEDE 所以，ACBD,E,C,D,A,B,E,作法：,1 连结AB,小练习,A,B,C,D,E,作法：,1 连结AB,3 连结AC,5 点G同理,A,B,C,作AC的垂直平分线,作BC的垂直平分线,这种方法对吗？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线,你能破镜重圆吗？,A,B,C,m,n,O,作弦AB、AC及它们的垂直平

10、分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆,作法：,依据：,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m,赵州桥主桥拱的半径是多少？,垂径定理的应用,用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R 经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高,解：,AB=37.4，CD=7.2，,OD=OCCD=R7.2,解得 R27.9

11、（m）,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m,OA2=AD2+OD2,1 判断： （1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧 （ ） （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧 （ ） （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦 （ ） （4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行 （ ） （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ ）,随堂练习,2.如图所示，P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_,8cm,10cm,解析：当弦与OP垂直时，弦最短，连接OA,由勾

12、股定理可得，AP= =4，OPAB，AB=2AP=8，最短弦为8cm.过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm故填8cm,10cm.,3.如图，AB是O的弦，半径OCAB于点D. （1）若AB=8cm，OC=5cm,求CD的长； （2）若OC=5cm，OD=3cm，求AB的长； （3）若AB=8cm，CD=2cm，求O的半径.,（3）设O的半径为r，则OD=r-2,OCAB，AD= AB=4cm，在RtOAD中，OA2=DO2+AD2，r2=（r-2)2+42，解得r=5，O的半径为5cm.,解：连接OA，则AO=OC=5cm.OCAB,ODA=90. （1） OCAB，AD= AB=4cm，在RtOAD中， CD=OC-OD=2cm.,（2）在RtOAD中， OCAB，AB=2