高中数学必修5新教学案：第一章解三角形小结与复习

1、第一章 解三角形小结与复习(学案)【知识归类】1正弦定理：在ABC中，注意：（1）R表示ABC外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）应用正弦定理解决的题型：已知两角和一边，求其它已知两边和一边的对角，求其它（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在ABC中，变形为：，注意：（1）应用余弦定理解决的题型：已知三边，求各角已知两边和一边的对角，求其它已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用

2、；3.ABC的面积公式，.4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的应用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的应用例1 （1）在ABC中， A=，B=，a=6,求c；（2）在ABC中，A=，b=4，a=3,则cosB；（3）在ABC中，B=，b=,c=150,求a.题型二：余弦

3、定理的应用例2（1）在ABC中， a=2，B=，c=4,求b；（2）在ABC中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC；（3）在ABC中， a=，b=，,求c.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在ABC中，已知，判断ABC的形状；（2）在ABC中，已知，判断ABC的形状；（3）在ABC中，若，试判断ABC的形状.变式练习：设为钝角三角形的三边，求实数的取值范围？题型四：三角形的面积例4 （1）在ABC中，已知，求ABC的面积；（2）在ABC中，面积求(3) 在ABC中，边的长是方程的两个根，求边C的长.题型五：三角形恒等式例5 在中，求证.例6 如图，港口A北偏东方向的C处有一观测

4、站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为，该轮船从B处沿正西方向航行后到D处，测得CD为，问此时轮船离港口A还有多远？【思想方法】1.数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论的数学思想. 2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化与化归的方法、建模法等.【自主检测】一选择题1在ABC中，若，则边（ ）.（A）（B）（C）（D）.2在ABC中，已知A=30，a=8，b=则三角形的面积为（ ）（A）（B）16（C）或16（D）或3在ABC中，A、B、C所对边分别为a,b,c且，则A等于（ ）（A）（B）（C）（D）4.在ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（ ）（A）19（B

5、）-14（C）-18（D）-195.若，则ABC的形状为（ ）.（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）有一个角为30的直角三角形（D）有一个角为30的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A、B为两锐角，则中（ ）（A）有最大值和最小值0（B）有最大值和无最小值（C）无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值.二、真空题：7.在ABC中，若B=30，AB=，AC=2，则ABC的面积为 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为 .9.若以2，3，为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围是 .10.ABC中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围

6、是 .三、解答题： 11.已知是中角的对边，且，求这个三角形的最大内角.12.在ABC中，BC=a，AC=b，a,b是方程的两个根，且.求（1）角C的度数；（2）AB的长；（3）ABC的面积. 第一章 解三角形小结与复习(教案)【知识归类】1正弦定理：在ABC中，注意：（1）R表示ABC外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）应用正弦定理解决的题型：已知两角和一边，求其它已知两边和一边的对角，求其它（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在ABC中，变形为：，注意：（1）应用余弦定理解决的题型：已知三边

7、，求各角已知两边和一边的对角，求其它已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.ABC的面积公式，.4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的应用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【题型归

8、类】题型一：正弦定理的应用例1 （1）在ABC中， A=，B=，a=6,求c；（2）在ABC中，A=，b=4，a=3,则cosB；（3）在ABC中，B=，b=,c=150,求a.【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角，适合正弦定理解决的类型.解：（1）由正弦定理得（2）由正弦定理得又由三角函数同角基本关系得(3) 由正弦定理得或当时，当时，故或【方法总结】当已知两边和一对角，求其它时，可能有无解、一解或两解，注意讨论.题型二：余弦定理的应用例2（1）在ABC中， a=2，B=，c=4,求b；（2）在ABC中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC；（3）在ABC中， a=，b=，

9、,求c.【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它，适合余弦定理解决的类型；当已知两边和一对角，求其它时也可使用余弦定理.解：（1）由余弦定理得，（2）为最大角.由余弦定理得又由正弦定理得（3）由余弦定理得，解得或【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，注意难易方法的选择.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在ABC中，已知，判断ABC的形状；（2）在ABC中，已知，判断ABC的形状；（3）在ABC中，若，试判断ABC的形状.【审题要津】这里已知边和角判断ABC的形状，正确选择正、余弦定理进行解决.解：（1）由正弦定理得，由余弦定理得，故ABC为钝角

10、三角形.（2）,又故ABC为等边三角形.（3）解法1由正弦定理得展开得故ABC为等边三角形.解法2 由余弦定理得整理得故ABC为等边三角形.【方法总结】常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.变式练习：设为钝角三角形的三边，求实数的取值范围？解：为钝角三角形的三边，解得此时最大，要使是三角形的三边，还需得设最长边所对的角为，则，解得故的取值范围为题型四：三角形的面积例4 （1）在ABC中，已知，求ABC的面积；（2）在ABC中，面积求(3) 在ABC中，边的长是方程

11、的两个根，求边C的长.【审题要津】这里已知边和角求ABC的面积或变形应用面积公式求解.解：（1）.(2) (3) 边的长是方程的两个根，【方法总结】根据三角形的面积知关键在于两邻边的乘积与夹角的正弦值的积，结合条件直接应用或整体求解.题型五：三角形恒等式例5 在中，求证.【审题要津】由左边看出含有角和边，可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，再由正弦定理化变为角的正弦；左边中分子、分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求的.证明：解法1 化角为边得：左边右边.故原等式成立.解法2化边为角得：左边右边.故原等式成立.【方法总结】解决此类题时，既要用到三角形有关的恒等式，又要用到任意角的三角函

12、数的恒等式；证明时注意分析等式两边的形式是边还是角，便于从正余弦定理转化证得.题型六：应用题例6 如图，港口A北偏东方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为，该轮船从B处沿正西方向航行后到D处，测得CD为，问此时轮船离港口A还有多远？【审题要津】要求AD的长，在中，只要求出即可，可由正弦定理求解；要求，可在中，由余弦定理求解.解：易知，设在中，由余弦定理得：在中，由正弦定理得：故此时轮船离港口A还有【方法总结】正余弦定理在实际应用中很广泛，常见题有：距离、高度、角度等问题；解决时，首先要认真分析题意，找出各量间的关系，根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形模型（数学建模），

13、然后利用正余弦定理求解，最后将结果转化为实际问题.【思想方法】1.数学思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论的数学思想. 2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化与化归的方法、建模法等.【自主检测题】一选择题：1在ABC中，若，则边（ D ）.（A）（B）（C）（D）.2在ABC中，已知A=30，a=8，b=则三角形的面积为（D ）（A）（B）16（C）或16（D）或3在ABC中，A、B、C所对边分别为a,b,c且，则A等于（ B ）（A）（B）（C）（D）4.在ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（ D ）（A）19（B）-14（C）-18（D）-195.若，则ABC的形状为（ B ）.（A）等边三角形（B）等腰直角三角形（C）有一个角为30的直角三角形（D）有一个角为30的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A、B为两锐角，则中（ B ）（A）有最大值和最小值0（B）有最大值和无最小值（C）无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值.二、真空题：7.在ABC中，若B=30，AB=，AC=2，则ABC的面积为 或 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且