非机类3-平面的投影

1、 2.4平面的投影一、平面的表示法用几何元素表示平面cccccaaadaabbbbbbbb b baa a a a dccc直线及线外一点c两平行直线c不在同一直线上的三个点两相交直线平面图形二、平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性倾斜平行垂直实形性积聚性类似性投 影 特 性 平面平行投影面投影就把实形现 平面垂直投影面投影积聚成直线 平面倾斜投影面投影类似原平面 平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：正垂面侧垂面铅垂面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面投影面垂直面特殊位置平面正平面侧平面水平面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面投影面平行面一般位置平面与三个

2、投影面都倾斜3.投影面垂直面（1 ）铅垂面ccaabbWabCbcgPHcYHb投影特性：1 )abc积聚为一条线2 )abc、 abc为DABC的类似形3 )abc与OX、 OY的夹角反映b、g角的真实大小VZPBAOXa（2 ）正垂面bbgaaaccBaQcCYabc 积聚为一条线投影特性 ：1)2)3)bD abc、 D abc为D ABC的类似形abc与OX、 OZ的夹角反映、g角的真实大小ZbQVaAXcO（3 ）侧垂面bbccSWbaaabcCacAYa1)abc积聚为一条线投影特性2) D abc、 D abc为D ABC的类似形3) abc与OZ、 OY 的夹角反映、角的真实大

3、小ZSBXO投影面垂直面总结b类似形类为似什形么？ 是什么位的平面？a积聚性铅垂面投影特性：1） 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面的真实倾角。2）另外两个投影面上的投影为类似形。b置acccba4.投影面平行面：（1）水平面ZcaacbbacbbAaBcCbXObaacYc投影特性：1)abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性2)水平投影D abc反映D ABC实形O（2）正平面bbbaaaccccabbacY投影特性：1)2)abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性正面投影D abc反映D ABC实形bZacXBAC（3）侧平面bbZba

4、abBccca AaabXOaCbccY投影特性：abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性1)2)侧面投影D abc 反映D ABC实形c投影面平行面总结积聚性积聚性bcacbaac实形性水平面b投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。5.一般位置平面bZbbaBabaccabOXAcCcbca投影特性：Y aD abc 、 D abc 、 D abc 均为D ABC的类似形(1)(2)不反映a、b、g的真实角度一般位置平面bbcc投影特性：三个投影都类似。aabac例：正垂面ABC与H面的夹角为45，已知其水平投影及顶点B的正

5、面投影，求ABC的正面投影及侧面投影。ccaa45bbacb思考：此题有几个解？讨论：过一般位置平面内的一点能否作投影面平行线？在一般位置平面上，可以作出无数条与三个投影面互相平行的直线思考：在空间任意平面上，是否可以作出无数条与三个投影面互相平行的直线？WPwPHYHVZAPVXBO讨论：过一般位置直线能否作投影面的垂直面？VVbbBBaPaAASVSaabbPHHH过一般位置直线AB作铅垂面PH过一般位置直线AB作正垂面SV结论：过一般位置直线总可作投影面的垂直面。三、平面上的直线和点平面上取任意直线位于平面上的直线应满足的条件：若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。NM若一直线过

6、平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。BAM例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。根据定理二根据定理二解法一解法二db bmnccaabbmdaacnc有多少解？有无数解。例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。a有多少解？mn唯一解！cbbcnma10平面上取点首先面上取线面上取点的方法：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bbdkcckaabdaakbkcc利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解例2：已知AC为正平线，补全平行四边形

7、ABCD的水平投影。bb解法一解法二kccaaddddccaakbb例3：在ABC内取一点M，并使其到H面V面的距离均为10mm。aemdcbXOaedmbc 5 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题直线与平面平行平面与平面平行直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有多少解？bd nc mabdnamc有无数解例2：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。b正平线d n cmacadnm b唯一解两平面平行ebf 若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互

8、平行。 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。dcacfdaebfbdehachdfbcae例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行， 已知ABCDEFMHmacekhfbdXObdfhkamce由于ek不平行于ac, 故两平面不平行。二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交直线与平面相交直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题： 求直线与平面的交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。直线与特殊位置平面相交bnVakNBmPcKAnaPHakCbbkcMm点可直接求出。Hc由于特殊位置平面

9、的某些投影有积聚直线与特殊位置平面相交bnVakNBmPcKAnaPHakCbbkcMmHc特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 平面为特殊位置空间及投影分析平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 为K点的水平投影作图bnk1(2)acm用线上取点法求交点判别可见性mc2k由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。b1an还可通过重影点判别可见性。直线为特殊位置空间及投影分析m直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点， 故交点K的水平投影也积聚在该点上。bkca1(2)n

10、作图求交点判别可见性点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。用面上取点法bk 2m(n)c1a两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：求两平面的交线方法：(1)确定两平面的两个共有点。(2)确定一个共有点及交线的方向。判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。一般位置平面与特殊位置平面相交求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投bm影有积聚线可直接求出。klfcanmabkflakcClbfncnHPHVMPBKLFNm判断平面的可见

11、性bmklcfanmabkfllfCccHnnVMBKFLmNka空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。作图求交线例：求两平面的交线MN并判别可见性。fam(n)becdenac判别可见性dm从能正否面不投用影重上可看出，在影交点能线判左!别侧？，平面fb可如 通何过判正断面 ？投 影 直观地进行判别。ABC在上，其水平投影可见。例：求两平面的交线MN并判别可见性。空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。作图求交线fcabm(n)edeanc判别可见性d从正面投影上可看m出，在交线左侧，平面fbABC在上，其水平投影可见。空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。作图求交线判别可见性点在MC上，点在FH上，点在前，dham 1(2)nbcefa2 h(f )m 1bnd(e)c点在后，故m可见c空间及投影分析平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn 即为交线MN的水平投影。作