有限元法基础-单元和插值函数的构造.ppt

1、1,第四章 单元与插值函数,4.1 面积坐标 4.2 Lagrange 单元 4.3 Serendipity单元 4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值,2,4. 单元与插值函数,通过变分法或加权余量法建立有限元方程时，首先是在确定单元形状后，在单元域内假设场函数的试解。 本章重点介绍 构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点 构造单元插值函数的两类方法的步骤和特点,有限元法基础,3,4. 单元与插值函数,关键概念 自然坐标 面积坐标 体积坐标 Lagrange单元 Serendipity单元,有限元法基础,4,4. 单元与插值函数,广义坐标有限元法的存在的问题： 1）建

2、立单元插值函数方法繁琐 2）形成单元矩阵过于复杂,有限元法基础,5,4. 单元与插值函数,单元插值函数的构造 与求解问题的微分方程无关 插值函数的构造方法 与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关 与单元节点DOF的类型和数量有关,有限元法基础,6,4. 单元与插值函数,有限元法基础,7,4.1 面积坐标,定义 在三角形内任意一点P的位置 由其三角形子域的面积与三角形 面积的比值确定，即 其中A为三角形面积， 为 的面积， 为 的面积， 为 的面积。,有限元法基础,8,4.1 面积坐标,记 则三角形内的点P 表示为 称为面积坐标。,有限元法基础,9,面积坐标的性质 1）与j-m 平行的线上具有

3、相同的Li,4.1 面积坐标,有限元法基础,10,4.1 面积坐标,2）角点坐标为 i(1,0,0),j(01,0),m(0,0,1) 3）形心坐标为 4）三角形三条边的坐标为 j-m边: Li = 0, m-i边:Lj = 0, i-j边: Lm = 0 5）三个坐标只有2个是独立的,有限元法基础,11,4.1 面积坐标,面积坐标与直角坐标的关系 三角形单元 的面积 三角形内任意点 P(x,y),有限元法基础,12,4.1 面积坐标,有限元法基础,13,4.1 面积坐标,面积坐标的微积分运算 1）导数,有限元法基础,14,4.1 面积坐标,2）面积分 3) i-j 边长为 l 的线积分,有限

4、元法基础,15,4.1 面积坐标,例：,有限元法基础,16,4.1 面积坐标,例：均质等厚单元的自重,有限元法基础,17,4.1 面积坐标,用面积坐标给出的单元的插值函数 以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数是对称的。,有限元法基础,18,4.1 面积坐标,1）线性单元3节点三角形单元 根据形函数的特点 这样可用过其他两节点的直线方程 来构成。例如节点1，可用23边 的直线方程来构成插值函数，即,有限元法基础,19,4.1 面积坐标,2）二次单元6节点三角形单元 节点1： 节点4： 通用表达式： 角节点 中节点 注：,有限元法基础,20,4.1 面积坐

5、标,2）三次单元10节点三角形单元 节点1 节点4 节点10,有限元法基础,21,4.2 Lagrange单元,单元场函数的插值表示为 插值函数满足下列性质,有限元法基础,22,4.2 Lagrange单元,一维Lagrange插值 1）总体坐标下的位移插值函数 对于n个节点的一维单元，节点坐标为 多项式插值可达n-1阶，即,有限元法基础,23,4.2 Lagrange单元,当2时 令 ，则 引进无量纲坐标,有限元法基础,24,4.2 Lagrange单元,2）自然坐标下的位移插值函数 对于n个节点的一维单元，节点坐标为 多项式插值可达n-1阶，即 或,有限元法基础,25,4.2 Lagran

6、ge单元,当n=2时， 通式,有限元法基础,26,4.2 Lagrange单元,当n=3时，,有限元法基础,27,4.2 Lagrange单元,二维Lagrange单元 二维Lagrange单元的场插值函数由一维Lagrange插值分别在两个方向插值，即 场插值函数为,有限元法基础,28,4.2 Lagrange单元,可以证明,有限元法基础,29,4.2 Lagrange单元,一次单元4节点单元 双线性插值,有限元法基础,30,4.2 Lagrange单元,二次单元9节点单元 角节点 边中节点 内部节点,有限元法基础,31,4.2 Lagrange单元,三维Lagrange单元 单元节点 场插

7、值函数,有限元法基础,32,4.2 Lagrange单元,可以证明,有限元法基础,33,4.2 Lagrange单元,Lagrange单元族的特点 1）插值函数构造方便 2）高次单元内部节点过多，影响计算效率,有限元法基础,平面单元内部节点数（n-1)(m-1),34,4.3 Serendipity单元,Serendipity单元族 单元的节点仅配置在 角点和边界上。 不改变精度的情况下， 减少内节点。 Irons等首先提出，按 字面意思是意外发现的， 但有规律可循。,有限元法基础,35,4.3 Serendipity单元,Serendipity单元族,有限元法基础,36,4.3 Serend

8、ipity单元,Serendipity插值函数的构造 4节点单元的插值函数与Lagrange单元相同,有限元法基础,37,4.3 Serendipity单元,8节点单元在边中点的插值函数,有限元法基础,38,4.3 Serendipity单元,显然,有限元法基础,39,4.3 Serendipity单元,Serendipity插值函数的一般构造方法,有限元法基础,40,4.3 Serendipity单元,Serendipity单元族,有限元法基础,41,4.3 Serendipity单元,二次平面单元8节点单元,有限元法基础,42,4.3 Serendipity单元,划线法构造插值函数 二次平

9、面单元8节点单元 由 ，得,有限元法基础,43,4.3 Serendipity单元,平面四边形8节点单元插值函数,有限元法基础,44,4.3 Serendipity单元,三维Serendipity单元族 1) 线性单元8节点单元,有限元法基础,45,4.3 Serendipity单元,2) 二次单元20节点单元 插值函数完备到二次。,有限元法基础,46,4.3 Serendipity单元,Serendipity插值与Lagrange插值的差异 Serendipity插值函数的多项式表示 与Lagrange插值相比少 都是二次完备，没达到三次完备。,有限元法基础,47,4.3 Serendipi

10、ty单元,有限元法基础,48,4.3 Serendipity单元,Lagrange插值项,有限元法基础,49,4.3 Serendipity单元,Serendipity插值项,有限元法基础,50,4.3 Serendipity单元,Serendipity插值与Lagrange插值的差异,有限元法基础,51,4.3 Serendipity单元,在 边，二次变化 在 边，二次变化 单元的每条边上有三个节点，因此插值是协调的。,有限元法基础,52,4.4 体积坐标,定义：四面体中任一点P的位置 由下列参数确定,有限元法基础,53,4.4 体积坐标,四面体单元族,有限元法基础,54,4.4 体积坐标,

11、1）线性单元4节点单元 2）二次单元10节点单元 角节点 边中节点,有限元法基础,55,4.4 体积坐标,3）三次单元20节点单元 角节点 边中节点 面内节点,有限元法基础,56,4.4 体积坐标,体积坐标的微分 复合函数求导公式,有限元法基础,57,4.4 体积坐标,体积坐标的积分,有限元法基础,58,4.5 Hermite插值,特点 1）多项式插值 2）节点参数包含导数，例如 3）在插值点上导数也连续 4）0阶连续的Hermite插值就是Lagrange插值,有限元法基础,59,4.5 Hermite插值,例：一维问题有n个节点，包含有2n个节点未知参数，可唯一确定2n1次多项式的插值函数。,有限元法基础,60,4.5 Hermite插值,容易得到 其中 为Lagrange插值函数,有限元法基础,61,4.5 Hermite插值,采用 局部无量纲坐标时，端点为,有限元法基础,62,4.5 Hermite插值,在无量纲坐标下，插值函数曲线,有限元法基础,63,4.5 Hermite插值,二阶Hermite插值函数,有限元法基础,64,4.5 Hermite插值,例：2节点梁单元,有限元法基础,65,4.6 五面体单元,有限元法基础,线性五面体单元 单元内任意一点的坐标 用