数学基础知识与典型例题复习-01

1、数学基础知识与典型例题第一章集合与简易逻辑集合1.元素与集合的关系:用或表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2,表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2，3，；描述法字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集；整数集Z；有理数集Q、实数集R;例1 下列关系式中正确的是（ ）(A) (B)(C)0 (D)0例2 解集为_.例3设,已知,求实数的值.子集集合与集合的关系:用，

2、=表示;A是B的子集记为AB；A是B的真子集记为AB。任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B；如果.n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n 1个；n个元素的非空真子集有2n2个.例4设，a=lg(lg10)，则a与M的关系是( )(A)a=M (B)Ma (C)aM (D)Ma例5集合A=x|x=3k-2，kZ，B=y|y=3n+1，nZ，S=y|y=6m+1，mZ之间的关系是( )(A)SBA (B)S=BA (C)SB=A (D)SB=A例6用适当的符号填空：_;3.14_;R+_R;x|x=2k+1,

3、kZ_x|x=2k1, kZ。例7已知全集U2，4，1a，A2，a2a2如果，那么a的值为_.交、并、补1.交集AB=x|xA且xB;并集AB=x|xA，或xB;补集CUA=x|xU，且xA，集合U表示全集.2.集合运算中常用结论:例8设集合A=x|xZ且-10x-1，B=x|xZ，且|x|5，则AB中的元素个数是( )(A)11 (B)1 (C)16 (D)15例9已知A=，B=x|，则AB=_。例10已知集合M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求MN。交、并、补例11若A =(x，y)| y =x+1,B=y|y =x2+1, 则AB =_.例12设全集，则例13设全集

4、U = 1，2，3，4，5，6，7，8，A = 3，4，5 B = 4，7，8,求：（CU A）(CU B), (CU A)(CU B), CU(AB), CU (AB).不等式1.绝对值不等式的解法：的解集是;的解集是 公式法:,.(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方2、一元二次不等式或 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 注:分式、高次不等式的解法：标根法不等式14.不等式的解集是,则15.分式不等式的解集为：_.16.求使有意义的取值

5、范围.不等式17.解不等式：|4x-3|2x+1.18.解不等式：|x-3|-|x+1|2或x2或x2x+14x-32x+1或4x-32 或x2或x.例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）当时，41当时，当时-41综上,原不等式的解集为也可以这样写：解：原不等式等价于或或 ，解的解集为，的解集为x|x.方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|.例19答：x|x0或1x2例20解：要原方程有两个负实根，必须:.实数k的取值范围是k|-2k-1或k1.例21解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真）否命题：

6、若 x + y 5 则 x 3且y2（真）逆否命题：若 x 3 或y2 则 x + y 5（假）例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真.例23答:若a、b都不为0，则ab0例24解：假设x1且y1，由不等式同向相加的性质x+y2与已知x+y2矛盾, 假设不成立 x、y中至少有一个不小于1注反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例25解：函数在R上单调递减不等式例26答：.例27答既不充分也不必要解:“若

7、 x + y =3,则x = 1或y = 2”是假命题,其逆命题也不成立.逆否命题: “若,则”是假命题, 否命题也不成立.故是的既不充分也不必要条件.例28选B 例29选A1、当别人说你“有缺陷”时，你就“疯狂地战胜它”吧！疯狂就是：“Practicewhileothersarecomplaining.当别人抱怨时你练习。Believewhileothersaredoubting.当别人疑惑时你坚信。”从一个人的“反弹爆发力”上，我最佩服乒乓球双料冠军邓亚萍。她因为身高只有1米5，曾经被省队和国家队都拒绝过，她父亲就对她说：“你个子矮，就必须把球打得快，这样才有进攻性；你个子矮，别人跑一步，

8、你就要跑两步，所以你一定要跑得快。”因为她要克服个子矮的弱点，所以在训练时，她比任何人都要付出多两倍的努力，每天要换几次衣服，晚上趁别人睡下时，还要再悄悄躲进训练房苦练到晕倒为止。邓亚萍说：“我打球打赢了还不一定能进国家队，更别说输了。所以我打球很凶狠，那是逼出来的。”假如你感觉自己有某方面缺陷弱点时，你就疯狂地战胜它吧，像邓亚萍一样，当别人休息时你练习；当别人疑惑时你坚信；当别人放弃时你坚持苦练短处，把短处变得更快、把短处变得更狠，从而把短处变成长处！邓亚萍说：“我不比别人聪明，但我能管住自己。我从小就形成了一旦设定目标，就绝不轻易放弃的习惯。也许，这就是我能赢得成功的原因。”当你看到这里时

9、，也请怒吼一声：“我要管住自己的软弱！一旦设定目标就绝不放弃！（NeverGiveUp）”成功就是坚持！数学基础知识与典型例题复习第二章函数映射映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：AB，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。例1.若，,则到的映射有 个，到的映射有 个；若，, 则到的一一映射有 个。例2. 设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是( )（A）2 （B）3（C）

10、4 （D）5函数1.函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C=f(x)|xA为值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则. 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。3. 函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：分母不为0；偶次根式中被开方数不小于0；对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等. 注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。

11、例3.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则 ；定义域为 。例4. 求函数的定义域. 例5. 若函数的定义域为-1,1，求函数的定义域。函数4.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；判别式法；反函数法（反解法）；换元法（代数换元法）；不等式法；单调函数法.注:求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间接法的途径为函数与方程的思想，表现为法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域为R;二次函数 当时值域是,当时值域是；反比例函数的值域为； 指数函数的值域

12、为；对数函数的值域为R；函数的值域为-1，1；函数,的值域为R；例6.已知 (x0), 求.例7. 求函数的值域.例8. 下列函数中值域为的是( ) (A) (B) (C) (D) 单调性函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.例9.讨论函数的单调性。单调性单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。判断函数单调性的方法：定义法（作差比较和作商比较）；图象法；单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；复合函数单

13、调性判断法则;导数法（适用于多项式函数）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。例10. 函数在定义域上的单调性为( )（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数例11.已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f g (x)在 R上也是增函数。奇偶性1.偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.满足，或，若时，.2.奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.奇函数的判定：

14、两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.满足，或，若时，.注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)0）例12.判断下列函数的奇偶性：,反函数1.反函数定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为. 2.求反函数的步骤:将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；将互换，得；写出反函数的定义域（即的值域）。3.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.注：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.是先左移三个单位，在的反函数.例

15、13.求函数 （-1 x 0）的反函数例14.已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。反函数4.单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同. 一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.注:1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定

16、义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则 f-1f(x)=x,(xA)ff-1(x)=x,(xC)例15. 若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )(A) (B)(C) (D)例16. 设，则_.例17. 函数与互为反函数的充要条件是_.例18. 若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=_，=_指数函数与对数函数1.指数函数：（），定义域R，值域为（）.当，指数函数：在定义域上为增函数；当，指数函数：在定义域上为减函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例1

17、9.函数(，且)的图象必经过点( )(A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2)例20. 指数函数与对数函数2.对数函数：如果（）的次幂等于，就是，数就叫做以为底的的对数，记作（，负数和零没有对数）；其中叫底数，叫真数.对数运算：例如：中x0而中xR）.（）与互为反函数.当时，的值越大，越靠近轴；当时，则相反.例21.设 且, 求证:;比较的大小.例22.已知 ， ,试比较的大小。例23.求函数的单调减区间，并用单调定义给予证明。例24. 求下列函数的定义域、值域：; 图象变换y = f（x）y =f（x）y =f（x）y=f(x)y=f(|x|),把轴上方的图

18、象保留，轴下方的图象关于轴对称y=f(x)y=|f(x)|把轴右边的图象保留，然后将轴右边部分关于轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)y=f(x), y=f(x)y=Af(x+)具体参照三角函数的图象变换。注:一个重要结论：若f(ax)f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；例25.讨论函数的图象与的图象的关系。一次函数与二次函数1.一元一次函数：，当时，是增函数；当时，是减函数；2.一元二次函数：一般式:；对称轴方程是；顶点为；两点式：；对称轴方程是 ；与轴的交点为 ；顶点式：；对称轴方程是 ；顶点为 ；一元二次函数的单调性： 当时： 为增函数； 为减函数

19、；当时： 为增函数； 为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为的形式，()、若顶点的横坐标在给定的区间上，则当时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；()若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 一次函数与二次函数二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程的两根为；则：根的情况等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根充要条件af(k)0

20、另外:二次方程f(x)=0的一根小于p，另一根大于q(pq)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0，或（检验）或（检验）。若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出,分段函数也是重要的函数模型。一次函数与二次函数例26. 当0x1时，函数y=ax+a1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）(A)a1 (C)a1 (D)a1例27.已知函数在上递增，则的取值范围是( )（A） （B）（C） （D）例28. 已知二次函数的图像开口

21、向上，且，则实数取值范围是( )(A) (B) (C) (D) 例29.设函数，则方程的解为 .数学基础知识与典型例题(第二章函数)答案例1. , ,6; 例2. C例3.,对于实际问题，在求出函数解析式后，此时的定义域要根据实际意义来确定。例4. 解：解析式有意义的充要条件是：函数的定义域为 x|例5. 解：要使函数有意义, 必须:的定义域是.例6.解一: 令, 则 , 解二：令 则 例7. 解：设 则 t0x=1-t2代入得 y=f (t )=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4t0y4所求值域为例8. B例9. 解：定义域 x|-1x1,在-1,1上任取x1,x

22、2且x1x2则,-= ,另外，恒有 若-1x1x20 则 x1+x20 则-, 若x10 则-, 在-1，0上f(x)为增函数，在0，1上为减函数。例10. C例11. 证：任取 且 x1 x2 g (x) 在R上是增函数,g (x1) g (x2),又f (x) 在R上是增函数,f g (x1) f g (x2)而且 x1 0时, -x0 有f (-x) = x2-x = -(x-x2);当 x0 有f (-x) = -x-x2 = -(x2+x)此函数为奇函数.例13.解： -1x 0,0 x2 1 ,01 - x2 1, 0 1 ,0 y 1由：解得： ( -1x 0 )(-1 x 0)

23、的反函数是：( 0 x 1 )例14.解:利用数形对应的关系，可知y=g(x)是y=f-1(x+1)的反函数，从而化g(x)问题为已知f(x)。的反函数为即 g(11)=f(11)-1=评注：函数与反函数的关系是互为逆运算的关系，当f(x)存在反函数时，若b=f(a)，则a=f-1(b).例15. B例16. 1 例17. m=2,n=例18. =，=解：由已知在反函数的图象上，则必在原函数的图象上所以原函数经过点和则，所以，解得例19.D例20.解：原式 例21.证明：设, ,取对数得:, 又,例22. 解：当或 时 当时 当或 时 综上所述：时；时;例23. 解：定义域 ,单调减区间是.设

24、 则 ,=,又, 又底数,函数在上是减函数.例24解:要使函数有意义，则须：即：,从而 ,定义域为-1,1，值域为要使函数有意义，则须：由,在此区间内 , 从而 即：值域为,定义域为-1,5，值域为例25.解:可由的图象向左平移两个单位得的图象，再向上平移三个单位得 的图象。例26.D例27. D例28. D例29. x=0，2或2、当你承认“自己有缺点”时，你就“疯狂地改正它”吧！“我的缺点越多，我成为伟人的可能性就越大！赶紧开始数一数你的缺点吧！”是什么诞生了一个伟大的人物？我认为是“自卑”诞生了一个伟大的人物！一个平常人在“战胜自卑”的过程中，获得了“炼狱”般的熬炼，从而炼出了自己非凡的

25、“火眼金晴”。姚明，被国际传媒称为“中国巨人时代的代言人”，他“战胜自卑”的过程，值得中国人自豪，值得中国人反省怎样才能让自己变成巨人？怎样才能让自己成为国家的骄傲？姚明自幼体弱多病，得过肾炎，左耳失聪，反应迟钝，两脚是不适合跑跳的“刀削脚（平脚）”,这些都是打篮球的致命弱点和缺陷。但他父亲问姚明：“告诉我，你喜欢篮球吗？”“喜欢啊，我喜欢球场的感觉，喜欢球迷的呼喊”他父亲说：“够了，儿子，只要喜欢，你就安心练球吧，你一定会比别人有出息的!”姚明从此开始了常人难以想像的艰苦训练，虚心地从别人的嘲笑中总结经验，扬长避短，先入选中国篮球明星队，22岁入选了全球最有影响力的NBA明星联队。要知道一代

26、篮球巨星是怎样炼成的，我跟大家分享两个最令我佩服的情景：第一个：他以队友为超越的目标，从最弱变成了最强姚明刚进NBA时,他被称为最瘦弱的“杆”，因为他只能推45磅的哑铃，而他的队友可以推100磅，5年后，姚明推哑铃的重量超过了120磅。由最弱变成了最强，只因他5年来都在别人训练结束后，多加练几个小时的力量训练，并且从不间断。第二个：他反复审视自己的错误，疯狂地调整缺点每一次比赛和训练，姚明的教练都会录像，把他所有的失误镜头都剪下来，录到一张光盘里。姚明每次都会仔细反复看，记自己犯下的每一个细小错误，然后一次又一次在训练中调整，直到把正确的动作转变成自己身体的一部分，转化成自己的本能，于是，姚明

27、取得了令人不可思议的进步。一个人的缺陷，有时就是上苍让你成功的信息和暗示。一个人的弱点，可以成为你消沉胆怯的原因，也可以成为你一生中最大的激励因素。弱点的背后隐藏着，而且是“深深地”隐藏着巨大的潜力，一旦被改正，你的弱点就成为震撼世界的优点！所以，从今天开始，为你的弱点欢呼和庆祝吧！克服弱点最好的方法，就是用行动来超越它，战胜它，你从此开始变得强大，甚至伟大。当一个人真正要争得尊严，弥补身体上的缺陷时，人的潜能才会真正开始苏醒，自身惊人的品格，才会一点点地展现在世人面前。痛苦是锻造自己最好的机会！Whatpainsustrainsus!不要害怕失败。摔倒多少次不要紧，要紧的是你能多少次爬起来。

28、Dontbeafraidoffailing.Itdoesntmatterhowmanytimesyoufalldown.Allthatmattersishowmanytimesyoukeepgettingup.数学基础知识与典型例题第三章数列数列1.数列的前项和与通项的关系：2.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。例1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式.例2.已知，求及例3.已知， 求及例4.求和.例5.数列1,3,5,7,(2n1)+的前n项之和为Sn，则Sn等于( )(A)n2+1(B)2n2n+1(C)n2+1(D)n2n+1例

29、6.求和: .等差数列与等比数列等差数列等比数列定义(为常数,)递推公式()()通项公式（）中项（）（）前项和重要性质从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：（下标成等差数列）从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1.定义法2.中项法证明一个数列为等比数列的方法：1.定义法2.中项法设元技巧三数等差：四数等差：三数等比：四数等比：联系真数等比，对数等差; 指数等差，幂值等比。重点把握通项公式和前n项和公式,对于性质主要是理解(也就是说自己能推导出来),具体运用时就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是

30、我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列通项公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法，是我们求其他数列通项公式的一种经验.又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是数列求和的重要技巧.等差数列与等比数列注:等差、等比数列的证明须用定义证明;数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题

31、可以化为函数问题求解.分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.等差数列与等比数列例7.等差数列a n中，已知，a n =33，则n为（ ）(A)48 (B)49 (C)50 (D)51例8.在等比数列中,则例9.和的等比中项为( ) 例10. 在等比数列中，求，例1

32、1.在等比数列中,和是方程的两个根,则( ) 例12.已知等差数列满足,则有( ) 例13. 已知数列的前项和，求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式。等差数列与等比数列例14. 一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差.例15. 在等比数列，已知，求.例16.设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn.例17.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数.例18. 在5和81之间插入两个正数，使前三个数成等差

33、数列，后三个数成等比数列，求这两个数的和.例19. 设an是等差数列，已知b1+b2+b3=，b1b2b3=，求等差数列的通项an.例20. 已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是( )(A)4或5 (B)5或6 (C)6或7 (D)8或9数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案例1. 当时，,当时，,经检验 时 也适合,例2. 解：, ,设 则是公差为1的等差数列,又 ,当时 ,例3 解： 从而有, ,.例4.解：例5.A 例6. 解: -， 当时,;当时，例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解： 另解：是与的等比中项，例11.D 例1

34、2.C 例13.解：,当时,时亦满足 , 首项且 成等差数列且公差为6、首项、通项公式为例14. 解一：设首项为，公差为 则 解二： 由 例15. 解：，例16. 解题思路分析：法一：利用基本元素分析法设an首项为a1，公差为d，则 此式为n的一次函数 为等差数列 法二：an为等差数列，设Sn=An2+Bn 解之得： ，下略注：法二利用了等差数列前n项和的性质例17.解：设原来三个数为 则必有 , 由： 代入得：或 从而或13 原来三个数为2,10,50或例18.70例19. 解题思路分析： an为等差数列 bn为等比数列 b1b3=b22, b23=, b2=, , 或 或 , , an=2

35、n-3 或 an=-2n+5例20. 3、当你的目标是“冠军”时,“疯狂的煎熬”也就开始了！“伟大是熬出来的！苦难和失败就是最大的财富和资本！Truegreatnessstemsfromhours,weeksandevenyearsofstruggleandsuffering.熬、熬、熬，熬出惊天动地！熬、熬、熬，熬出无穷魅力！”我见过很多伟大的人物，从他们的气质上，你就可以感受出他们曾经经历过什么样的煎熬。我坚信，历史上有成就的人，无不经过身处逆境的煎熬，历经艰苦的煎熬，正因为有了非常人的熬炼，才熬出了人生的精华！中国有一队震惊国际体坛的奇军“马家军”，他们在1993年开始创造的多项世界纪录

36、，惊世骇俗！打破了国际体坛传说“中国人不适合田径比赛”的成见。在国外公布的当年女子长跑排名中，l500米的前10名，中国选手占了8名，而且包揽前5名；在3000米中，中国选手占了前6名；在10000米中，中国选手占据了前5名；在马拉松比赛中，中国选手占了前4名。在世界田径史，还从来没有哪一个国家，能在一年之内如此迅猛崛起，产生如此重大、如此强烈的影响力。我当时就好奇，“马家军”的姑娘们就像永远也累不垮的“铁人”，她们是从哪儿获得了那么多的力量？她们强大的精神动力从哪来的？一个长跑运动员，全年每一天，都在做一件最枯燥最寂寞的事，如果没有强大的精神支撑，怎么干得下去？“马家军”的统帅马俊仁初中没毕

37、业，他靠什么去调动队员的积极性？他靠什么去排除运动员的杂念，吃得住天大的苦痛？“马家军”当时没有欧美先进的仪器，但靠很土而又很实用的方法，靠选拔最能吃苦的农村孩子，靠最严厉的训练，才没垮掉，才造就了世界级的辉煌。我坚信震惊了全世界的“马家军”，一定经历过度日如年的痛苦历炼，才熬到了亿万人仰慕的冠军宝座，表面看“马家军”的磨练不近人情：被禁止读书、读杂志、听音乐、不允许谈恋爱、不允许穿好看时髦的衣服但是，如果你的目标是“世界冠军”时,也就意味着“疯狂的煎熬”开始了，不然凭什么你能从亿万的人群中冒出争得奖杯！“马家军魔鬼训练营”的创始人马俊仁说：“训练不严格能行吗？不严格就能拿金牌？成天跳舞唱歌轻

38、轻松松谁不会？大伙儿高高兴兴一团和气，这样就能拿金牌谁不愿意？那些女孩子十五六岁就进了运动队，她不出成绩，不仅耽误个人一辈子，连她的家庭都跟着受累，她们的父母爷爷奶奶全指望着她了”当年，我在兰大烈士亭经历了脱胎换骨、残酷自律强行蜕皮的“疯狂英语”训练，直到现在，我还是睡得比狗迟，起得比鸡早，吃得比猪糟，干得比驴多在一般人看来，那段日子我过得很苦、很艰难，但别人不会体验到，当我摇头晃脑把一篇篇文章狂喊出来，把一本本厚厚的英语书复述出来时的那种自豪感，那种酣畅淋漓的满足感，那种疯狂的人生体验，是世界上任何一种享受都无法比拟、无法替代的！人一生能遇到一位大师级的老师严格要求自己，是千年修来的福气，如

39、果遇不到名师，那就自己做自己的严师吧！如果你坚信：伟大是熬出来的！苦难和失败就是最大的财富和资本！Truegreatnessstemsfromhours,weeks.andevenyearsofstruggleandsuffering. 数学基础知识与典型例题第四章三角函数三角函数相关知识关系表角的概念1.与（0360）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）:;终边在x轴上的角的集合:;终边在y轴上的角的集合：;终边在坐标轴上的角的集合：.2. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制.3.弧度制下，扇形弧长公式，扇形面积公式，其中为弧所对圆心角的弧度数。例1.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对