“一道例题的变式及解法探究”教学设计（黄业乐）

1、“一道例题的变式及解法探究”教学设计广东省佛山市顺德区伦教翁祐中学 黄业乐 3【教学内容】北师大版数学九年级（上）第一章 证明（二）你能证明它们吗例1的拓广及解法探究【教学目标】 知识与技能：经历“探索发现猜想证明”的过程，能够用多种方法证明与等腰三角形有关的命题过程与方法：1通过对一道题的解法及变式、引申题的探究，培养学生的猜想、证明和合作交流能力 2通过对本节课的探究，培养学生的观察能力、识图能力、将文字语言转化为几何语言的能力情感与态度：1在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神2在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验【教学重

2、点】怎样根据文字叙述题正确画出图形并根据图形写出已知、求证和证明【教学难点】1.怎样将开放题转化为常规题2.怎样根据证明的需要添加辅助线【教学过程】图1 原题：等腰三角形两腰上的高有什么关系？(学生一阵沉默、思考）学生1：（举起手中所画图形）应该是相等关系吧？教师：为什么？学生1：如图1根据“AAS”可证明BCDCBE或,故两腰上的高BD=CE学生2：本题也可以通过等积变形来说明，因为ABCE=ACBD，AB=AC，所以 BD=CE教师：很好！今天我们把这一问题进行拓广变式，得到如下命题: 变式1：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高有什么数量关系？教师：仔细读题、分析后画出满

3、足条件的图形，并根据所画图形写出已知，通过量一量，猜一猜它们有什么数量关系？学生动手画图教师用投影仪展示学生3的作品：图2图2已知：如图2，ABC中，AB=AC，为BC上一点，且于E，于F，于D学生3：我通过度量发现“等腰三角形底边BC上任意一点P到两腰的距离PE、PF之和与一腰上的高BD是相等关系”，即教师：这只是一个猜想，还必须经过推理证明，那位同学能证明此命题？学生4：将PF平移至GD，再证明BG=PE 教师：怎么证明BG=PE呢？ 学生5：可证明，BGPPEB教师：很好，请同学们按此思路写出推理过程教师展示学生6的证明过程证法1：经过点P作垂足为G（相当于将PF平移至GD），四边形DF

4、PG是矩形(1)，GPB=C，AB=AC ，GPB =EBPBP=PB,BGP=PEB=90BGPPEB(AAS)，PE=BG (2) (1)+(2) 得PE+PF=BG+GD=BD教师：书写很有条理，还有其他的证明方法吗？(学生独立思考后，小组讨论、交流.)图3学生7：如图3，连结AP，通过等积变形来说明证法2：连结AP,ABPE, ACPF，ACBD 而 , ABPE+ACPF=ACBD, 又AB=AC，上式两边同除以,即得：PE+PF=BD设计目的：通过学生自主探索（包括观察、度量）猜想和证明，培养学生的自主学习，自主思考及动手、推理能力教师：现把原题再作如下变形：变式2：当点P在BC边

5、的延长线上时，其他条件不变，原题中的结论成立吗？如果不成立，请写出新的结论图4教师：在证明之前还必须根据文字叙述，正确画出图形，并根据图形写出已知，求证 学生8：已知：如图4，ABC中，AB=AC，为BC延长线上一点，并且PEAB于E，于D，PFAC交AC延长线为点F教师：PE、PF和BD有什么关系呢？ 学生9：我经过度量猜测：PE-PF=BD教师：这是一个猜想，还必须经过证明那位同学能证明此命题？学生10：我能（以下展示学生10的证明过程）证法1：过点C作CGPE于点G，CHAB于点H，, BDAC，BDFP , 同理，由AB=AC 得，BCDCBH（AAS） DBC=HCB FPC=GPC

6、，CP=CP， PFC=PGC=90PCFPCG（AAS）90四边形CGEH是矩形 EG=HC，PE-PG=EG，PE-PF=HC=BD教师：太棒啦！还有其他方法吗？学生11：同样可通过等积变形来说明.（展示学生11的证明过程）证法2：如图5，连结AP， 图5 ABPE, ACPF，ACBD， 而， ABPE-ACPF=ACBD，又AB=AC，上式两边同除以,即得：PE-PF=BD教师：原题与变式1、变式2有什么关系？学生12：如果点P为底边端点，则变式1、变式2就成为原题了总结评价：（学生交流，谈体会，教师总结评价）布置作业：A组：将以上三题中的锐角三角形变为直角三角形，其他条件不变B组：将

7、以上三题中的锐角三角形变为钝角三角形，其他条件不变C组：等腰梯形两腰上的高有什么关系？请同学们分别求出PE、PF和BD的数量关系？作业设计说明：A组为较容易的问题，由成绩较差或中等的同学完成B、C组为较难的问题，由成绩较好的同学完成为方便分层教学，设计两种类型的课外作业，由不同层次的同学做.但为了不打击部分同学的积极性，B组题设为选做题，由教师单独找部分成绩较好的同学，规定其必须做B组题设计总结：本节课通过学生主动参与，动手实践，自主探索与合作交流等活动，在教师的启发、鼓励下，完成了对一道几何题的“探索发现猜想证明”的过程本节课以开放题为载体，通过学生“量一量、猜一猜、议一议、做一做、结一结”,践行新课程从“直观几何，实验几何，到论证几何”的理念把原题设计为开放式题是因为开放式教学是当今教学研究的一个热点，它与传统教学相比，更追求学生能力的提高，更重视思维的形成过程，有