2013届高中数学第一轮总复习 第7章第44讲导数在研究函数中的应用课件 理 新课标

1、第七章,导数及其应用,导数在研究函数中的应用,第44讲,函数的单调性,当b11，即b2时，x、f (x)的变化情况如下表：,求函数的单调区间，先找出函数的极值点，再判断在极值点邻近函数的变化趋势本题是用导数研究函数单调性的常见问题，由于参数b的大小直接影响函数的单调区间，因此要对b进行分类讨论,点评,函数的极值,【解析】(1)证明：依题意，得f (x)x33x29xc0有三个互异的实根 设g(x)x33x29xc，则g(x)3x26x93(x3)(x1) 当x0，则g(x)在(，3)上为增函数； 当31时，g(x)0，则g(x)在(1，)上为增函数,所以函数g(x)在x3时取极大值，在x1时取

2、极小值 当g(3)0或g(1)0时，g(x)0最多只有两个不同实根 因为g(x)0有三个不同实根， 所以g(3)0且g(1)0，且139c27且c5，故27c5.,又f (x)x33x29xc， 当c27时，f (x)(x3)(x3)2； 当c5时，f (x)(x5)(x1)2. 因此，当273且a23， 即3a1. 故a5或3a1. 反之，当a5或3a1时， 总可找到c(27,5)使函数f(x)在区间a，a2上单调递减 综上所述，a的取值范围是(，5)(3,1),本题以函数的极值为背景考查分析问题的思维能力和对参数范围的识别能力解答中有三处值得体会，一是函数有三个极值点，说明方程f(x)0有

3、三个互异实根；二是要明确f(x)0的三个根的分布；三是如何确定x3的范围,点评,【变式练习2】 已知函数f(x)x3ax23x1(a0)，若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围,【解析】因为函数f(x)x3ax23x1(a0)在R上为增函数， 所以f (x)3x22ax30在R上恒成立， 由4a2360，所以a29，所以0a3； 又因为当a3时，f(x)3x26x33(x1)20(只有当x1时，f(x)才等于0)，因此0a3.,函数的最值,此题重点考查利用导数研究函数的单调性、最值熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,点评,【变式练习3】 已知函数f(x)ax

4、36ax2b在1,2上的最大值为3，最小值为29，求a，b的值,(2)当a0，则f (x)0. 所以f(0)b是极小值 又f(1)a6abb7a，f(2)b16a， 所以f(1)f(2)， 所以f(0)b是最小值，f(2)b16a是最大值,不等式的证明与恒成立问题,(3)由(1)可知f(x)x2ex1 x2， 故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x) 令h(x)ex1x，则h(x)ex11. 令h(x)0，得x1. 因为当x(，1时，h(x)0，所以h(x)在(，1上单调递减,故当x(，1时，h(x)h(1)0； 因为x1，)时，h(x)0，所以h(x)在1，)上单调递增 故当x1，)

5、时，h(x)h(1)0. 所以对任意x(，)，恒有h(x)0. 又x20， 因此，f(x)g(x)0. 故对任意x(，)，恒有f(x)g(x),比较两个函数的大小时，要考虑两个函数的定义域，取其公共定义域，比较两函数的大小才有意义本题两函数的定义域都是全体实数作差是比较大小的常用方法，作差后再构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值、最值是解决不等式问题的重要思想方法,点评,【变式练习4】 已知函数f(x)x4ax32x2b(xR)，其中a，bR.若对于任意的a2,2，不等式f(x)1在1,1上恒成立，求b的取值范围,【解析】f (x)4x33ax24xx(4x23ax4) 由条件a2,2，可

6、知方程4x23ax40的9a2640恒成立 当x0时，f (x)0.,1.奇函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1处有极值，则3a+b+c的值为_.,【解析】由奇函数知，b=0， 因为f (x)=3ax2+2bx+c，f (1)=0， 所以3a+2b+c=0， 又因为b=0，所以3a+b+c=0.,0,2.若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为_.,【解析】因为函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，所以y3x22ax0在(0,2)内恒成立，所以，所以a3.,3，),4.设函数f(x)x33ax23bx的图象与直线12xy10相切于点(1，11) (1)求a，b

7、的值； (2)讨论函数f(x)的单调性,(2)由a1，b3，得f(x)x33x29x. 则f (x)3x26x93(x22x3) 3(x1)(x3) 令f (x)0，解得x1或x3. 又令f (x)0，解得1x3. 所以当x(，1)时，f(x)是增函数；当x(3，)时，f(x)也是增函数，但当x(1,3)时，f(x)是减函数,5.已知函数f(x)x3bx2cx1在区间(，2上单调递增，在区间2,2上单调递减，且b0. (1)求f(x)的解析式； (2)设0m2，若对任意的x1、x2m2，m不等式|f(x1)f(x2)|16m恒成立，求实数m的最小值,1一般地，设函数yf(x)在某个区间内可导如

8、果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数单调性是导数应用的重点内容，主要有四类问题：运用导数判断单调区间；证明单调性；已知单调性求参数；先证明其单调性，再运用单调证明不等式等问题,2函数的单调性 设函数f(x)是定义在(a，b)上的可导函数，则f(x)0，(f(x)0)是f(x)在(a，b)上单调递增(递减)的充分不必要条件如f(x)x3在R上是增函数，但当x0时， f (0)0.,求单调区间的一般步骤： 求导数f (x)； 在函数f(x)的定义域内解不等式 f (x)0(f (x)0)； 确定单调区间 特别注意： (1)考虑定义域； (2)定义区间上的不连续点和不

9、可导点,3函数的极值是在局部对函数值的比较，它只能是函数定义域中的内点，而不能是端点；而最值是在整个定义域上对函数值的比较，它可以在端点处取得 求可导函数极值的步骤：求导数f(x)；求导数f(x)0的根；检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值,函数的极(最)值 函数的极值刻画的是函数在其定义域内的局部性质，函数的最值刻画的是函数在其定义域内的整体性质 求函数极值的方法：如果函数f(x)在点x0的邻近左侧有f(x)0，右侧有f(x)0，则x0为极小值点，极小值为f(x0),求函数最值的方法：如果函数f(x)在(a，b)上可导，并在a，b上连续，则函数f(x)在a，b上有最值其一般步骤为：求f(x)在a，b内的极值；将所求极值与端点的函数值比较，其中最大的是最大值，最小的是最