【优化课堂】2012高中数学 第三章 3.1.1 空间向量及其加减﹑数乘运算课件 新人教A版选修2-1

1、第三章,空间向量与立体几何,31 空间向量及其运算,311 空间向量及其加减数乘运算,1掌握空间向量相关的概念、几何表示法、字母表示法 2了解共线(平行)向量、共面向量的定义,3掌握空间向量的加减、数乘运算及运算律，共线向量、,共面向量的表示法,4理解共线、共面向量定理及其推论，并能利用它们证明,空间向量的共线、共面问题,1空间向量,在空间，我们把具有_和_的量叫做空间向,量向量的_叫做向量的长度或模,大小,方向,大小,2向量的表示法(如图 311),(1)几何表示法：用_表示. (2)字母表示法：用一个字母表示,如图 3 1 1 ，此向量的起点是 A ，终点是 B ，可记作 _，也可记作_，

2、其模记为_或_,图 311,有向线段,a,|a|,是_当有向线段的起点A与终点B重合时，AB0.,3零向量,长度为_的向量叫做零向量，记作 0，零向量的方向,4单位向量,模长为_的向量 5相反向量,与向量 a 的_相等而_相反的向量，称为 a,的相反向量，记作a.,0,任意的,1,长度,方向,6相等向量,_相同且_相等的向量称为相等向量在 空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量,图 312,方向,模,OB_；,CA_.,7类似于平面向量，定义空间向量的加减运算(如图,312),ab,ab,8空间向量的加法运算律,(1)交换律：_. (2)结合律：_.,9向量的数乘,实数与向量 a 的

3、积仍然是一个向量，记作_，称为 向量的数乘长度是_当0 时，a 与向量 a的方向_；当0 时，a 与向量 a 的方向_； 当0时，a_.,abba,(ab)ca(bc),a,|a|,相同,相反,0,11共线向量,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相 _，则这些向量叫做共线向量或_,12共线向量定理,对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在,实数，使_，称此为共线向量定理 注意：b0 不可丢掉，否则实数就不一定存在,(1)分配律：_. (2)结合律：_.,10数乘运算律,(ab)ab,(a)()a,平行或重合,平行向量,ab,13共面向量,_叫做共面向量空间任意两个,向量_

4、,14共面向理定理,如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面 的充要条件是：_. 称此为共面向量定理,平行于同一平面的向量,总是共面的,存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb,【要点1】正确理解空间向量的概念,【剖析】(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的模是正 数或 0，是可以进行比较大小的由于方向不能比较大小，因 此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的，比如可以说|a|b|， 但不能说 ab.,(2)在空间，单位向量、向量的模、相等的向量和相反向量,等概念与平面向量中相对应的概念完全一致,【要点2】向量的三角形法则和平行四边形法则的要点是,什么？,【剖析

5、】对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有 共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连对于向量 减法要求两向量有共同的起点,【要点3】空间向量的数乘运算,【剖析】空间向量数乘运算的结果仍是一个向量，可以根据 定义来判断它的方向和大小向量 a 的模可以扩大(当|1时)， 也可以缩小(当|0时)， 也可以改变(当0 时)实数与向量可以求积，但是不能进行 加减，例如a，a 是没有意义的,【要点4】共线向量与共面向量,【剖析】对于空间任意两个向量 a，b(b0)，共线向量定 理可分解为以下两个命题：ab存在唯一实数使 ab； 存在唯一实数，使得 abab.,对于空间任意两个向量，它们总是共面的，但

6、空间任意三 个向量就不一定共面了三个非零向量 a，b，c，其中任意两 个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数 l， m，n，使 lambnc0.,题型1 空间向量的线性运算 例1：如图 313，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列,各式中运算的结果为向量 AC1 的共有(,),A1 个 C3 个,B2 个 D4 个,图 313,思维突破：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或 三角形法则，遇到减法时既可以转化成加法，也可以按减法法 则进行运算,答案：D,A,CD7a2b，则一定共线的三点是(,题型2 共线问题,),AA，B，D CB，C，D,BA，B，C DA，C，D,思维突破：证明三点共线的关键是证明以某点为起点的两 个向量中，一个向量可以表示为另一个向量与某个实数的数乘 形式,答案：A,(1)OBOM3OPOA；,(2)OP4OAOBOM.,题型3 共面问题,例3：对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列条件下，,点 P 是否与点 A，B，M