数学物理方法课件：04第四章 解析函数的幂级数表示

1、第四章 解析函数的幂级数表示,幂级数与解析函数 洛朗级数 单值函数的孤立奇点,Power series of analytical functions,掌握复变函数的泰勒展开和洛朗展开,判断复变函数的奇点种类,作业：习题四 2 偶, 5 偶，6 9奇，10, 13 偶,若 收敛，则称 绝对收敛,在 E 上一致收敛于 f(z)。,4.1 函数项级数的基本性质,1.函数项级数,称函数项级数 (1) 在点集 E 上收敛于函数 f(z)，,对每个 ，有,当 可不依赖于 zE 时，称此函数项级数,若对每点 zE 及任意0，存在正数,几何级数,在 |z|1 时发散；在 |z|1 内一致收敛；在 |z|1

2、内绝对收敛，但不是一致收敛,对 01/2，不等式,的解为,若 |z|，则,收敛有快有慢,魏尔斯特拉斯 M-判别法：若在 E 上 ，,柯西收敛准则,收敛 (一致收敛) 的充分必要条件：,对zE 及 ，存在,时,推论：绝对收敛的级数必为收敛级数,为收敛的正项级数 (称为 的强级数)，,则在 E 上 绝对收敛且一致收敛,2.一致收敛级数的连续性和逐项积分,(1) 设 fn(z), n=0,1,2, 在平面点集 E 上连续，,在 E 上一致收敛于 f(z)。,则和函数 f(z) 在 E 上连续；,(2) 若 fn(z), n=0,1,2,在逐段光滑的曲线 C,则 f (z) 在 C 上可积，,上连续，

3、,在 C 上一致收敛于 f(z)，,证明：,对任意0，存在正数 N=N()，,当 mN 时，对所有,取,连续性 存在 0，当 时,3.魏尔斯特拉斯定理,(1) 和函数 f(z) 在 D 上解析；,在包含于 D 上的任意闭圆盘上一致,若 fn(z), n=0,1,2,在区域 D 上解析，在包含于 D,(2) 在 D 内级数可逐项求导至任意阶，且,的任意闭圆盘上 一致收敛于 f(z)，则：,收敛于,在 E = N(a) 中任取围线 C,(1) 任取 aD，证明 f(z) 在 a 解析,在闭圆盘 中,莫雷拉定理 f(z) 在 E 上解析,f(z) 在 E 上连续；,沿 C 逐项积分 ,柯西定理 ,

4、f(z) 在 a 解析,取邻域 N (a) D,D,一致收敛于 f(z) ,， ,在 上一致收敛于,对圆周 与,(2) 证明,在圆周 上一致收敛于 f(z) + 柯西公式 ,在 上一致收敛于,4.2 幂级数与解析函数,1.幂级数的收敛圆,存在 0 R ，使得 在|z-a|R 时收敛，,在 |z-a|R 时发散。|z-a|=R 称为幂级数的收敛圆，R 称为幂级数的收敛半径,以 a 为中心的幂级数：,则对 0 |z0-a|，该幂级数在闭圆盘 |z-a| 内绝对收敛且一致收敛。,证明：,收敛时，存在 M 0,若 |z-a|，则,收敛,阿贝尔定理：若幂级数 在 z = z0 收敛，,在 |z-a| 内

5、绝对收敛且一致收敛,(发散点),上极限：对实数序列 xn ，若去掉前 n 项后的子序列最小上界为 pn，则,柯西-阿达玛公式：若存在极限 或,则极限值为 的收敛半径。,普适公式：,(上极限),对,收敛半径为 ,另解： 收敛半径为 2 ,例1： 的收敛半径,对级数 (1)，不存在极限,级数 (2), (3) 收敛半径都为 1。,在收敛圆上：,级数 (1) 处处发散，级数 (3) 处处绝对收敛；,级数 (2) 在 z=1 处发散，在其余点处收敛。,幂级数的和函数在收敛圆内解析,幂级数 的和函数 f(z) 在收敛圆 |z-a|=R,的内部解析，可逐项求导、逐项积分：,魏尔斯特拉斯定理 + 阿贝尔定理

6、 ,若 0R，则收敛圆 |z-a|=R 上必有 f(z) 的奇点,2.解析函数的泰勒(Taylor)展开,泰勒定理：若函数 f(z) 在圆盘 D：|z-a| 上解析，则在此圆盘上 f(z) 能展开为幂级数 (泰勒展开),f(z) 在 a 处有泰勒展开,f(z) 在 a 处解析,(展开方式唯一),与实变函数的 泰勒展开对比：,收敛半径 = min |b-a|：b为 f(z) 的奇点或 ,证明：对 zD 作圆, 此级数在圆 上一致收敛，可逐项积分：,出发点：柯西公式,在 上该级数有强级数,幂级数的运算：,除法运算：,设 ，则,递推关系：,计算低阶项的技巧：,(保留到 z3 项),常见函数在原点的

7、Taylor 展开,基础：,导出：,微分 m 次,n=m+k,一般情形,规定,在 z=0 处,例2：求 在 z=0 和 z=3 处的泰勒展开,幂级数相乘：,在 z=3 处,收敛半径 = 1,收敛半径 = 2,例3：求 在 z=0 处泰勒展开前四项,方法 1：,方法 3：,方法 2：直接求导,3.解析函数零点的孤立性,称函数 f(z) 的解析点 a 为 m 阶零点 (m0)，,若,其中 在 a 处解析，,f(z) 的解析点 a 为 m 阶零点,不恒为零的解析函数不存在 阶零点 (证明见后),可对每个零点作邻域，这些邻域彼此无交集,不恒为零的解析函数零点的孤立性：,若 f(z) 在区域 D 内解析

8、，在 a D 的所有阶导数 为零，则在 D 内 f(z) 为常数,D,泰勒展开：,(1) 证明 D 为圆盘时结论成立,(2) D 为一般区域时，只需证,f(z) 在从 a 出发、 D 的任意线段上为常数,该线段可用有限个 D 的圆盘覆盖,若 f1(z), f2(z) 在区域 D 内解析，, 解析函数的唯一性：,证明：h(z) = f1(z) -f2(z) 有非孤立零点 a，必0, 解析延拓原理：若 f1(z), f2(z) 在区域 D 内解析， 在 D 内某弧段上相等，则它们在 D 内恒等,则在 D 内 f1(z) f2(z),任意闭圆盘上，双边幂级数绝对收敛且一致收敛，和函数解析，可逐项求导

9、、逐项积分,设幂级数 和 的收敛半径分别,为 R 和 1/r (r R),4.3 洛朗 (Laurant) 级数,1.双边幂级数,在收敛圆环 r |za| R 内的,H,R,a,r,2.圆环上解析函数的洛朗展开,洛朗定理：若 f(z) 在圆环 H：r |z-a| R 上解析，则在此区域上 f(z) 能展开为洛朗级数 (洛朗展开),r R。展开系数 cn 由 f(z) 和圆环 H 唯一决定,说明：若 f(z) 在圆盘 |z a| R 上解析，则 cn0 =0，f(z) 在圆环 H 上的洛朗展开 = 在 a 处的泰勒展开；,其它情形下，洛朗展开的系数,对 zH，作圆,。复围线的柯西公式,在圆 上一

10、致收敛,逐项积分,证明：,若有展开 ，则,围线变形原理 ,系数,在圆 上一致收敛，逐项积分 ,孤立奇点,若 z=a 为函数 f(z) 的奇点， f(z) 在某个去心邻域0 |za| 内解析，则称 a 为 f(z) 的孤立奇点。,例：函数 有孤立奇点,和非孤立奇点 z = 0,函数在孤立奇点的某去心邻域有洛朗展开，在 解析点的某邻域有泰勒展开；在它解析的任何 圆环上有洛朗展开；展开式依赖于圆环的位置,方法：幂级数的代数运算、代换 ,例4：将函数 在内作洛朗展开,目标：将f(z), g(z)写成 z=0 处的双边幂级数,手段：泰勒展开,结果：,例5：将函数 在下列圆环上作洛朗展开：,解：f(z)

11、有两个孤立奇点 z =1, 2,在任何不包含 z=1, 2 的圆环上 f(z) 可作洛朗展开,1),3),4),2),在 2)-4) 中,(合并同类项),f(z) 在圆环 r |z-a| R 上的洛朗展开收敛范围为,r1 = min |c-a|：c 为 f(z) 的奇点或， |c-a|R ,r2 = max |b-a|：b 为 f(z) 的奇点或 a， |b-a|r ,4.4 单值函数的孤立奇点,孤立奇点的三种类型,函数 f(z) 在孤立奇点 z=a 的某去心邻域有洛朗展开,正则部分,主要部分,定义：若 f(z) 在 z=a 处的主要部分 (i) =0，(ii) 最高项为 (za)-m (m0

12、)，(iii) 有无限多项，则称 a 为f(z) 的可去奇点，m 阶极点，本性奇点,(系数非零的项),在可去奇点 a 附近，,补充规定, 则 f(z) 在 z=a 处解析,1. 可去奇点可看作解析点,例：,在 z=3 处泰勒展开收敛半径 =？,泰勒展式的收敛半径 = 展开点与最近的非可去奇点之间的距离,负幂项系数 = 0,在 a 附近 f(z) 有界,反过来，设在 a 的去心-邻域内 |f(z)| M。,洛朗展开,a 为可去奇点,f(z) 在 a 附近有界,证明：,2. 零点与极点,f1(z), f2(z) 在 a 点解析，,常见情形：,在 a 附近分别为 m1 阶、m2 阶无穷小,泰勒展开,

13、m1 m2 时，a 为 f(z) 的 m1-m2 阶零点；,m1 m2 时，a 为 f(z) 的 m2-m1 阶极点,a 为 f(z) 的 m 阶极点,1/f(z) 以 a 为 m 阶零点,洛朗展开,证明：,k=m+n,记,g(z) 以 a 为可去奇点,洛朗展开,3. 本性奇点,a 为本性奇点,不存在,Picard 定理：对任意复数 A，方程 f(z) = A 在本性奇点的任一邻域内有无穷多个解，最多有一个例外,f(z) = A 的解,例：,4.解析函数在 的性质,定义：若 f(z) 在的某个邻域 R|z| 上解析，则称 为 f(z) 的孤立奇点。,主要部分,正则部分,可去奇点，,本性奇点，,m 阶极点，,称 z=为 为 f(z) 的,洛朗展式,若= 0 为 f(-1) 的,可去奇点,本性奇点,m 阶极点,(1) a 为可去奇点,设 a 为 f(z) 的孤立奇点。,f(z) 在 a 的某个邻域内有界,(4) a 为 m 阶极点,奇点类型判断,极点的阶,(5) 为 m 阶极点,孤立奇点(包括)类型的判断,(1),(2),在 z0, z 均不存在极限, 0, 为本性奇点, 0 为 1 阶极点, , 2, 为 2 阶极点 为非孤立奇点,例6：找出以下函数的