《数学物理方法》第七章贝塞尔函数

1、第七章 贝塞尔函数,本章介绍贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方程及球贝塞尔方程的解; 它们解的微分与积分表达式,递推公式、渐近公式; *贝塞尔方程本征函数的正交性、正交归一关系式与完备性等; *在此基础上，还介绍了平面波分别按柱面波和球面波的展开,2,本章的内容在电动力学(如光导波的电磁结构)及量子力学(如弹性散射中的分波法)中均有重要应用 汪德新理论物理学导论第二卷：电动力学北京：科学出版社，2005157-163 汪德新理论物理学导论第三卷：量子力学武汉：湖北科学技术出版社，2003.316-323,7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数,本节首先用级数解法求解贝塞尔方程，得到两个特解 Jn(x)和J-

2、n(x) ，称为第一类贝塞尔函数，简称贝塞尔函数,4,Jn(x)和J-n(x)通过线性叠加得到第二类贝塞尔函数Nn(x)，也称诺伊曼(Neumann)函数 Jn(x)和Nn(x)的线性叠加还可得到第三类贝塞尔函数Hn(1)(x) , Hn(2)(x)，也称汉克尔(Hankel )函数 Jn(x),J-n(x),Nn(x), Hn(1)(x)和Hn(2)(x)都是贝塞尔方程的特解 在不同情况下使用不同特解组成的通解,5,7.1.1贝塞尔方程的级数解,二阶线性齐次常微分方程 x2y+xy+(x2-v2)y0，0 xb (7.1.1) 称为贝塞尔方程 现在，在x=0的邻域求解贝塞尔方程 1.级数解的

3、形式 由p(x)=1/x, q(x)=1-v2/x2 , 可见, x=0是p(x)的一阶极点，是q(x)的二阶极点因此，x=0是方程的正则奇点方程的第一个解具有形式,6,2.指标方程,由x的最低次幂xr的系数为零，即有 (r2-v2)C0=0 因C00，即得指标方程r2-v2=0由此得指标 r1=v r2=-v (7.1.4),将式(7.1.2)代入方程(7.1.1) ，可得,7,3.系数递推公式,为确定起见，令v0，并将r=r1=v ，代人方程(7.1.3)，得 改变第二项的求和指标，可得,(7.1.5),8,由x的同次幂系数之和为零,C0表示C2n，用C1表示C2n+1 (其中n=1,2,

4、),(7.16) (7.17),9,4.由递推公式求系数得特解,10,将系数代入式(7.1.2)，即得贝塞尔方程的一个特解,易见级数解y1(x)的收敛范围是0|x|;,11,5. 另一个特解,同理，令r=r2=-v，可得另一特解 级数解y2(x)的收敛范围是0|x|,12,7.1.2 当vn(整数)，方程的通解是贝塞尔函数Jv(x)的线性组合,(1)贝塞尔函数Jv(x)的定义 若在特解y1(x)中取 便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)， 若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节),(7.1.10),(7.1.11),13,图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函数曲线,14,(2

5、)当v不为整数时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。实际上，当x0时,当v不为整数时, Jv(x)与J-v(x)的行为完全不同, 是线性无关的两个特解;故方程的通解是两者的线性组合,因为当x 0时，级数只保留n=0项易见,15,7.1.3 无论v是否整数，方程的通解可表示为Jv(x)与诺伊曼函数Nv(x)的线性组合,(1) 当v=n(整数)时, Jn(x)与J-n(x)是线性相关的在3.4节已证明 Jn(x)=(-1)nJ-n(x) (7.1.12) 因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的特解可按式( 6.1.4)求得 但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的人们宁愿重新定义一个

6、与Jn(x)线性无关的函数作为特解，它就是诺伊曼函数,16,(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式,诺伊曼函数的定义是 (7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数,17,当v=n(整数)时，诺伊曼函数的定义式是不定式利用洛必达法则，可以得到它的微分表达式,(7.1.14),18,图7.2给出自变量为实数时头几个Nn(x)的函数曲线,19,(3)诺伊曼函数是贝塞尔方程的解,贝塞尔函数Jv(x)是贝塞尔方程的解，将y=Jv(x) 代人式(7.1.1)，可得 对v求导，可得,20,同理，由J-v(x)是贝塞尔方程的解,对v求导,(7.1.16),21,用式(7.1.15)减去(-1)n乘式(7

7、.1.16)，得,当vn时 Jn(x)=(-1)nJ-n(x) (7.1.12),当vn时 为Nn(x),即有 x2Nn (x)+ xNn (x)+ (x2-n2)Nn(x)=0 可见诺伊曼函数满足贝塞尔方程 .,22,(4) 诺伊曼函数Nn(x)与贝塞尔函数Jn(x)线性无关,为了证明这一点，只要考查x=0时两者的取值即可由式(7.1.10),(7.1.10),将x=0代入上式, 无论n是否为零, Jn(x)都是有界的 Jn(x) 1，当n=0 (7.1.17) Jn(x) 0，当n1 (7.1.18),23,诺伊曼函数在x=0点是无界的,将式(7.1.10)和式(7. 1. 11)代入式(

8、7. 1. 14)，经过繁杂的计算可得 当x0时，无论n是否为零，Nn(x)都是无界的,由此可见，当v为整数和零时，Nn(x)与Jn(x)是线性无关的。贝塞尔方程的通解为 y(x) = C1Jn(x)十C2Nn(x) (7.1.22),24,(5) 结论,当v不为整数和零时，由Nn(x)的定义式可见，它是Jv(x)和J-v(x)的线性组合。 既然Jv(x)与J-v(x)线性无关，所以Nn(x)与Jv(x)也是线性无关的。 由此可见，无论v是否整数和零，贝塞尔方程的解均可表示为 y(x) = C1Jv(x)十C2Nv(x) (7.1.23),25,7.1.4 研究波的问题时，方程的通解常用汉克尔

9、函数表示,1.汉克尔函数的定义 既然Jv(x)和Nv(x)是贝塞尔方程的线性无关的解因此可以把它们作如下线性组合,它们也是贝塞尔方程的线性无关的解，它们称为汉克尔函数(第三类贝塞尔函数) 这样，贝塞尔方程的通解也可表示为,26,2. 三类贝塞尔函数的关系,27,【例7.1.1】试证明：半奇数阶贝塞尔函数,可用初等函数表示为,证明 利用式(7.1.10)可得,28,同理，利用式(7.1.11)可得,29,作业- 7.1 第151页,7.2 贝塞尔函数的 母函数 积分表达式 递推公式 渐近公式 与零点,31,由3.4节已给出的贝塞尔函数母函数出发，得到贝塞尔的回路积分表达式和定积分表达式； 由贝塞

10、尔函数的级数表达式出发导出它的递推公式； 由贝塞尔方程出发导出它的渐近公式； 由母函数关系式导出平面波按柱面波的展开式，并通过贝塞尔函数的渐近公式理解其物理含义； 最后，由贝塞尔函数的渐近式和递推公式出发证明贝塞尔的零点分布，它在第三篇求解贝塞尔方程的本征值问题时具有重要作用,32,7.2.1 贝塞尔函数的母函数与积分表示,1.母函数 在“解析函数的洛朗展开”中已证明,它表明，函数 的洛朗系数是整数阶的贝塞尔函数因此 f(x,t) = 就称为Jn(x)的母函数,33,2. 贝塞尔函数的积分表达式,(1)回路积分表达式 利用洛朗系数公式 即可得到贝塞尔函数的积分表达式,(2) 定积分表达式由上式

11、出发，可导出贝塞尔函数的定积分表达式,34,证明 在式(7.2.2)中令t=eiq，则,上式已利用了奇函数sin(xsinq-nq )在对称区间-p,p的积分性质,35,贝塞尔函数的积分公式可以用来计算包含贝塞尔函数的一些积分,【例7.2.1】试计算积分,解 先用式(7.2-3)表示J0(bx)为,指数函数的虚部是q的奇函数，积分后为零,36,代入原积分并交换积分次序,再次利用了q的奇函数积分为零，最后的等式利用了留数定理。,37,7.2.2 贝塞尔函数的递推公式,贝塞尔函数的基本表达式是级数表达式，它的递推公式可由级数表达式导出 1. 贝塞尔函数Jv(x)的基本递推公式,42,38,证明 由

12、贝塞尔函数的定义式,出发，计算 xvJv(x) 对于x的导数，得,就是式(7.2.4)同理可证明式(7.2.5),39,由式(7.2.4)中令v=1，可得到一个很有用的公式 xJ1(x)= xJ0(x) (7.2.8) 在式(7.2.5)中令v=0，可得另一个很有用的公式 J0(x) = -J1 (x) (7.2.9) 将式(7.2.4)与式(7.2.5)的导数算出来， vxv-1Jv(x)+ xvJv(x) xvJv-1(x) (7.2. 10-1) -vxv-1Jv(x)+ xvJv(x) -xvJv-1(x) (7.2.11-1) 消去公共因子，即有 vJv(x)+ xJv(x) xJv

13、-1(x) (7.2. 10) -vxJv(x)+ xJv(x) -xJv-1(x) (7.2.11) 将两式相减和相加可得式(7.2.6)与式(7.2.7).,40,利用式(7.2.6)便可由J0(x)及J1(x)求出J2(x) ，接着由J1(x)及J2(x)求出J3(x) ; 余此类推，即可由J0(x)及J1(x) 求出所有整数阶的贝塞尔函数; 此外，由式(7.2.6)、式(7.2.7)可给出所有整数阶的贝塞尔函数的导数,41,2. 诺伊曼函数Nv(x) 与汉克尔函数 H(1)v(x)、 H(2)v(x)的递推公式,容易证明，它们具有与Jv(x)形式相同的基本递推公式，例如,证明现在证明式

14、(7.2.12)为例将诺伊曼函数的定义式代入式(7.2.12)的左边，得,42,式中右边第一项可利用式(7.2.4)求出， 第二项令v=-m及式(7. 2-5)可得,(7.2.14),将式(7.2.4)及式(7.2.15)代入式(7.2.14)，并利用,(7.2.12),43,同理可证式(7.2.13),由式(7.2.12),和式(7.2.13)出发还可导出Nv(x)的其他递推公式，其形式也与Jv(x)的递推公式相同 汉克尔函数的递推公式也可按上法导出 凡是递推公式具有形如式(7.2.4)和式(7.2.5)的函数称为柱函数因此，第一、二、三类贝塞尔函数又称为第一、二、三类柱函数,44,可以证明

15、，柱函数一定是贝塞尔方程的解；但贝塞尔方程的解不一定是柱函数，因为贝塞尔方程的解不一定满足递推公式(7.2.4)、 (7.2.5) ，见习题7.2.3. 贝塞尔函数的递推公式常用来计算含有贝塞尔函数的积分，特别是被积函数是幂函数乘贝塞尔函数的积分,45,【例7.2.2】计算积分,解 利用递推公式 并进行分部积分，可得,?,46,【例7.2.3】试由递推公式计算J3/2(x)及 J-3/2(x),同理，在式(7.2.6)中令， v = -1/2,并利用7. 1节中例7.1.1的结论，即有,解 在式(7.2.6)中 令v = 1/2, 即有,(7.2.16),47,7.2.3 贝塞尔函数的渐近公式

16、 平面波按柱面波展开,(1)、对于大的x值，贝塞尔函数的渐近公式是,证明 公式的严格证明相当复杂，这里只作出粗略的证明首先，贝塞尔方程为,代入贝塞尔方程后，全式除x3/2，即有,48,当x1时，上方程可近似写成,这表明，对于大的x值，贝塞尔函数的渐近公式应具有如下的形式,由此得,其函数形式与式(7.2.18)相符,49,(2) 平面波按柱面波展开,沿x轴方向传播的平面波为 ucos(kx-wt) (7.2.25) 式中取振幅为1， k为波数，w为圆频率 若采用指数形式，利用 cos(kx-wt) Reei(kx-wt) (7.2.26) 并略去符号Re，则有 u ei(kx-wt) ei(kr

17、cosj-wt) (7.2.27) 上式已引人柱坐标系，将x表示为x =rcosj 现在，将平面波按柱面波展开,50,贝塞尔函数的母函数关系式为(因x,t已用来表示空时坐标),令 a = kr , b = ieij (7.2.29) 代入式(7.2.28)，可得 利用cosj = 1/2(eij +e-ij )，即有,(7.2.31),51,则式(7.2.31)可表示为 这就是平面波按柱面波的展开,(7.2.31),52,为了更明显地看出它的物理意义，不妨利用贝塞尔函数的渐近式(当r),将上式代入式(7.2.34)后，再用e-iwt乘等式两边，便有,(7.2.36),53,这表明，沿x轴方向传

18、播的平面波可以展开为一系列柱面波的叠加这些波的等相位面是柱面 其相速可通过上式对t求导得到 它们分别是振幅与 成反比的，沿相反方向传播的发散波与会聚波,54,7.2.4 贝塞尔函数的零点分布,在求解数学物理方程的定解问题时，贝塞尔函数的零点具有重要的意义； 所谓贝塞尔函数的零点，就是方程 Jv(x) = 0 的根。通常用mn(v)表示v阶贝塞尔函数Jv(x)的第n个正零点,55,贝塞尔函数的零点分布(图7.3)有如下特征：,(1)、贝塞尔函数的零点是关于原点对称分布的，也就是说其零点必正负成对，且绝对值相等； 这是由于贝塞尔函数的奇偶性: Jv(-x)(-1)vJv(x) 因此，若有Jv(mn(v) ) 0 ，必有Jv(-mn(v) ) 0 。 (2)、贝塞尔函数有无限多